Convergencia

Vamos a tratar la convergencia de sucesiones deducidas linealmente a partir de otras basándonos en el libro de Julio Rey Pastor, Análisis Algebraico

Criterio General

Teorema

Sea (a_n) con n\geq 1 una sucesión convergente de límite \alpha y consideramos los coeficientes (\lambda_{i,n}) con n\geq 1, 1\leqslant i\leqslant n que verifican:

• \underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{i,n} = 0, \forall i
• \underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \lambda
• Y si los \lambda_{i,j} no son positivos, además, \left\|\lambda_{1,n}\right\| + \left\|\lambda_{2,n}\right\| + \cdots + \left\|\lambda_{n,n}\right\| \leqslant K

Demostración

Dado que c_n=a_1 \cdot \lambda_{1,n} + a_2 \cdot \lambda_{2,n} + \cdots + a_n \cdot \lambda_{n,n} = \alpha \cdot (\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n}) + (a_1 - \alpha) \cdot \lambda_{1,n} + (a_2 - \alpha) \cdot \lambda_{2,n} + \cdots + (a_n - \alpha) \cdot \lambda_{n,n}

Si usamos \underset {n \to \infty} {\lim} a_n = \alpha , tenemos que dado \epsilon > 0, \exists n_0 tal que \left\|a_n - \alpha \right\| < \frac{\epsilon}{3\cdot K}, \forall n \geqslant n_0 con K el valor de la propiedad C)

Por la propiedad A) existirá un valor n_1, por lo que tomaremos un valor mayor que n_0 tal que \left\|\lambda_{i,n}\right\| < \frac{\epsilon }{3 \cdot (\left\|a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\|a_{n_0 - 1} - \alpha \right\|) }, n\geqslant n_1 y 1 \leqslant i < n_0

Por la propiedad B) podemos deducir que existirá n_2, por lo que tomaremos un valor mayor que n_1 tal que \left\|\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} - \lambda \right\| < \frac{\epsilon }{3 \cdot \left\| \alpha \right\|}, \forall n \geq n_2

Utilizando los resultados anteriores y la desigualdad triangular tenemos que:

\left\| c_n - \alpha \cdot \lambda \right\| \leqslant \left\| \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} - \lambda \right\| + \left\| a_1 - \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{1,n} \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0 - 1} - \alpha \right\| \cdot \left\| a{{n_0 - 1},n} \right\| + \left\| a_{n_0} - \alpha \right\| \cdot \left\| a_{{n_0},n} \right\| + \cdots + \left\| a_n - \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{n,n} \right\| < \left\| \alpha \right\| \cdot \frac{\epsilon}{3 \cdot \left\| \alpha \right\|} + \frac{\epsilon \cdot (\left\| a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0-1} - \alpha \right\|) }{3 \cdot (\left\| a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0-1} - \alpha \right\|)} + \frac{\epsilon}{3\cdot K} \cdot(\left\| \lambda_{n_0, n} \right\| + \cdots + \left\| \lambda_{n,n} \right\|) \leq \epsilon

Aplicando en el último paso la propiedad C), con lo que hemos probado el criterio general

Notas sobre el criterio general

Consideremos una matriz con infinitas filas y columnas, de tal forma que en la fila n-ésima colocamos los valores (\lambda_{i, n}) con 1 \leq i \leq n y completamos la fila con 0
A=\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,2} & \lambda_{2,2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,3} & \lambda_{2,3} & \lambda_{3,3} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,4} & \lambda_{2,4} & \lambda_{3,4} & \lambda_{4,4} & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ \lambda_{1,n} & \lambda_{2,n} & \lambda_{3,n} & \lambda_{4,n} & \cdots & \lambda_{n,n} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \end{pmatrix}

Con esta matriz A, la sucesión c_n definida en la demostración anterior se obtiene como:

\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4\\ \cdots\\ c_n\\ \cdots \end{pmatrix}= A \cdot \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ \cdots\\ a_n\\ \cdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,2} & \lambda_{2,2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,3} & \lambda_{2,3} & \lambda_{3,3} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,4} & \lambda_{2,4} & \lambda_{3,4} & \lambda_{4,4} & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ \lambda_{1,n} & \lambda_{2,n} & \lambda_{3,n} & \lambda_{4,n} & \cdots & \lambda_{n,n} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ \cdots\\ a_n\\ \cdots \end{pmatrix}

Resulta interesante que la propiedad A) del teorema nos está indicando que cada columna de la matriz A tiende a 0 cuando n \to \infty

La propiedad B) nos dice que si sumamos los elementos de cada fila y calculamos el límite de esas sumas, cuando n \to \infty, el límite es \lambda

Consecuencias del criterio general

Aplicando adecuadamente el criterio general podemos deducir algunos resultados interesantes, algunos de ellos ya conocidos y otros totalmente nuevos

Límite de la media aritmética y la media geométrica de una sucesión

Tomemos \lambda_{i,n}=\frac{1}{n} con i=1, \cdots, n

Cuyos coeficientes positivos cumplen A) y \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} = 1, luego satisface B) cuando \lambda = 1

Si consideramos una sucesión (a_n)_{n\geq 1} con límite \alpha, por el criterio general cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} = \alpha

Es decir, si la sucesión tiene límite, la sucesión de las medias aritméticas de los n primeros términos tienen el mismo límite (Rey Pastor atribuye este resultado a Cauchy)

Además, si a_n > 0, tomando logaritmos, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} \sqrt[n]{a_1 + \cdots + a_n} = \exp (\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{\log a_1 + \cdots + \log a_n}{n}) = \exp (\log \alpha ) = \alpha

Si consideramos una sucesión positiva con límite, la sucesión de las medias geométricas de los n primeros términos tienen el mismo límite

Por último, dada una sucesión (b_n)_{n\geq 1}, si le aplicamos el criterio de las medias geométricas tomando a_1 = b_1 y a_n = \frac{b_n}{b_{n-1}} (en este caso concreto tenemos que \sqrt[n]{a_1 + \cdots + a_n} = \sqrt[n]{b_n}), cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_n}{b_{n-1}} = b \Rightarrow \underset {n \to \infty} {\lim} \sqrt[n]{b_n} = b

Criterio de Stolz

El criterio de Stolz es un caso particular de convergencia de una serie deducida linealmente de otra

Sea (b_n)_{n\geqslant 1} una sucesión de términos positivos tal que B_n = b_1 + \cdots + b_n\to \infty, n \to \infty y (a_n)_{n\geqslant 1} una sucesión convergente con límite \alpha, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{a_1 \cdot b_1 + \cdots + a_n \cdot b_n}{B_n} = \alpha

Siguiendo el criterio general tomamos \lambda_{i,n} = \frac{b_i}{B_n}, para i = 1, \cdots, n, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_i}{B_n} = 0

Por lo que se cumple A) del criterio general y \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \frac{b_1 + \cdots + b_n}{B_n} = 1, por lo que también se cumple B)

En particular, dada una sucesión (d_n)_{n\geqslant 1} y (b_n)_{n\geqslant 1}, tomando el resultado previo a_n = \frac{d_n}{b_n}, se deduce que:

\underset {n \to \infty} {\lim}\frac{d_n}{b_n} = l \Longrightarrow \underset {n \to \infty} {\lim}\frac{d_1 + \cdots + d_n}{b_1 + \cdots + b_n} = l

Y si tomamos una sucesión (B_n)_{n\geqslant 1} divergente, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim}\frac{D_1 + \cdots + D_n}{B_1 + \cdots + B_n} = l \Longrightarrow \underset {n \to \infty} {\lim}\frac{D_n}{B_n} = l

Nos bastará con tomar d_n = D_n - D_{n-1} para el caso previo

A este resultado se le conoce como el criterio de Strolz

Consecuencia I

Sean (a_n)_n{n\geqslant 1} y (b_n)_n{n\geqslant 1} dos sucesiones tal que A_n = a_1 + \cdots + a_n y B_n = b_1 + \cdots + b_n

Si \underset {n \to \infty} {\lim}A_n = A, \underset {n \to \infty} {\lim} B_n = B y \left\|b_1\right\| + \cdots + \left\|b_n\right\| \leqslant K, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} A_1 \cdot b_n + A_2 \cdot b_{n-1} + \cdots + A_n \cdot b_1 = A \cdot B

Este resultado es una consecuencia del criterio general tomando \lambda_{i,n} = b_{n-i+1} con i = 1, \cdots, n

Teniendo en cuenta que \underset {n \to \infty} {\lim}b_{n-i+1} =\underset {n \to \infty}B_{n-i+1} - B_{n-i} = B - B = 0, lo que implica A)

De la condición \underset {n \to \infty} {\lim} B_n = B se deducen B) y C) (en este caso deberíamos haber comprobado que eran positivos, por eso utilizamos la condición \left\|b_1\right\| + \cdots + \left\|b_n\right\| \leqslant K)

Consecuencia II

Sean (a_n)_n{n\geqslant 1} y (b_n)_n{n\geqslant 1} dos sucesiones tal que \underset {n \to \infty} {\lim}a_n = \alpha y \underset {n \to \infty} {\lim}b_n = \beta, cumplirá que:

\underset {n \to \infty} {\lim} a_1 \cdot b_n + a_2 \cdot b_{n-1} + \cdots + a_n \cdot b_1 = \alpha \cdot \beta

Este resultado es una consecuencia del criterio general tomando \lambda_{i,n} = \frac{b_{n-i+1}}{n}

Para comprobar A) debemos observar la convergencia de la sucesión b_n que nos asegura que \left\|b_n\right\|\leqslant C, luego \left\|\lambda_{i,n}\right\|\leqslant \frac{C}{n}\to 0, n\to\infty

Si aplicamos el criterio de Stolz podemos comprobar B) (también podríamos haber aplicado el criterio de las medias aritméticas):

\underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots +\lambda_{n,n} = \underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_1 + \cdots + b_n}{n} = \underset {n \to \infty} {\lim} b_n = \beta

La condición C) es otra vez consecuencia de la acotación de la sucesión b_n ya que se cumple que \left\| \lambda_{1,n} \right\| + \left\| \lambda_{2,n} \right\| + \cdots + \left\| \lambda_{n,n} \right\| \leqslant C \cdot (\frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}) = C