Álgebra de Boole

El álgebra de Boole es una disciplina que analiza los circuitos digitales y otros sistemas digitales

Recibe su nombre en honor al matemático inglés George Boole, que propuso los principios básicos de este álgebra en 1854 en su tratado An investigation of the laws of thought on wich to found the mathematical theories of logic and probabilities

En 1938, Claude Shannon, un investigador asistente en el Departamento de Ingeniería Eléctrica del M.I.T., sugirió que el álgebra de Boole podría usarse para resolver problemas de circuitos de conmutación

Las técnicas de Shannon se usaron, consecuentemente en el análisis y diseño de circuitos digitales. El álgebra de Boole resulta una herramienta útil en dos áreas:

• Análisis
  Es una forma concisa de descubrir el funcionamiento de los circuitos digitales
• Diseño
  Dada una función deseada, se puede aplicar el álgebra de Boole para desarrollar una implementación de complejidad simplificada de esa función

El álgebra de Boole usa variables y operaciones lógicas. Una variable puede tomar el valor 1 cuando es verdadero ó 0 cuando es falso. Tiene únicamente tres operaciones lógicas básicas (AND, OR y NOT), que se representan simbólicamente:

AND	OR	NOT
A AND B	A OR B	NOT A
A\wedge B	A\vee B	\neg A

Tablas de verdad

La tabla de verdad define las operaciones lógicas básicas, enumerando el valor para cada combinación posible de los valores de los operandos. Además de los operadores básicos del álgebra de Boole, también se suelen enumerar tres operadores útiles: XOR, XNOR, NAND y NOR. Los cuales se pueden obtener haciendo operaciones con los operadores básicos

Tabla AND

La operación AND es verdadera si y sólo si los dos operandos son verdaderos

A	B	A\wedge B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Tabla OR

La operación OR es verdadera si y sólo si los uno o ambos operandos son verdaderos

A	B	A\vee B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Tabla NOT

La operación NOT invierte el valor del operando

A	\neg A
0	1
1	0

Tabla XOR

La operación XOR es verdadera si y sólo uno de los operandos es verdadero

Equivale a realizar:

(A \wedge \neg B) \vee (\neg A \wedge B) \equiv (A \vee B) \wedge (\neg A \vee \neg B)

A	B	A\oplus B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Tabla XNOR

La operación XNOR es la negación de la operación XOR

Equivale a realizar:

(A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)

A	B	\neg(A\oplus B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Tabla NAND

La operación NAND es la negación de la operación AND

Equivale a realizar:

\neg(A \wedge B)

A	B	\neg(A \wedge B)
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Tabla NOR

La operación NOR es la negación de la operación OR

Equivale a realizar:

\neg(A \vee B)

A	B	\neg(A \vee B)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Identidades básicas

Hay dos clases de identidades:

• Reglas básicas (postulados)
  Se afirman sin demostración
• Otras identidades
  Se pueden derivar de los postulados básicos

Los postulados definen la manera en la que las expresiones booleanas se interpretan

Reglas básicas
A \wedge B = B \wedge A	A \vee B = B \vee A	Ley conmutativa
A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)	A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)	Ley distributiva
1 \wedge A = A	0 \vee A = A	Elemento neutro
A \wedge \neg A = 0	A \vee \neg A = 1	Elemento complementario
Otras identidades
0 \wedge A = 0	1 \vee A = 1
A \wedge A = A	A \vee A = A
A \wedge (B \wedge C) = (A \wedge B) \wedge C	A \vee (B \vee C) = (A \vee B) \vee C	Ley asociativa
\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B	\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B	Teorema de Morgan