Números enteros

Con los naturales podemos sumar números, pero no siempre podemos restar. Usaremos los números enteros para poder restar cualquier pareja de naturales

A pesar de que los números naturales parecen evidentes, a los matemáticos les costó mucho tratar a los números negativos con igualdad a los positivos. Históricamente, el uso de los números negativos es muy posterior al uso de fracciones o incluso de los irracionales positivos

Un ejemplo de las complicaciones provenientes de los números negativos, tanto para el griego Diofanto como para los algebristas europeos del Renacimiento, una ecuación del tipo x^2+b\cdot x+c=0 (en la que para nosotros los parámetros b y c pueden ser tanto positivos como negativos y el método de resolución sigue siendo el mismo) no era única, sino que debía ser analizada en cuatro casos \begin{cases}x^2+b\cdot x+c=0 \\ x^2+b\cdot x=c \\ x^2+c=b\cdot x \\ x^2=b\cdot x+c \end{cases} distintos, con b y c siempre positivos (incluso más casos si permitimos la posibilidad que b o c valgan cero) y cada uno de los casos tenía su propio método de resolución

Nota: la notación x^n tiene sentido habitual x^n=\underbrace{x\cdots x}_{\text{n veces}}, \forall n \in\mathbb{N} y x pertenece a cualquiera de los conjuntos de números que consideremos (naturales, enteros, racionales y reales). Además cuando n=0 tenemos que x^0=1

Fue el matemático holandés Simon Stevin, a finales del siglo XVI, el primero que reconoció la validez de los números negativos al aceptarlos como resultado de los problemas con que trabajaba. Además, reconoció la igualdad entre la sustracción de un número positivo y la adición de un número negativo (es decir, a−b=a+(−b), con a, b > 0). Por esta razón, igual que se considera a Brahmagupta como padre del cero, Stevin es considerado como el padre de los números negativos (de hecho, Stevin hizo muchas más contribuciones al mundo de los números, en el campo de los números reales)

En \mathbb{N}_0 podemos sumar números, pero no siempre podemos restar. Por eso surge la necesidad de crear un nuevo conjunto de números con los que poder restar cualquier pareja de números naturales; este nuevo conjunto es el de los números enteros y se denota como \mathbb{Z}

Es totalmente elemental comprobar que esta relación es de equivalencia, y eso nos permite definir los números enteros como el conjunto cociente \mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0/\sim