Distribución Poisson

La distribución Poisson es una v.a. discreta \xi que mide el número de veces que ocurre un suceso en un intervalo de tiempo o espacio y se denota como:

\xi \approx P(\lambda)
 
Su función de probabilidad es:

P(\xi = k ) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}, k \in \{0, \cdots, n\}
 
E(\xi) = \lambda
 
\sigma^2(\xi) = \lambda
 
\sigma(\xi) = +\sqrt{\lambda}

Propiedades

1. \xi = \xi_1 + \xi_2 \approx P(\lambda) con \lambda = \lambda_1 + \lambda_2 cuando \xi_1, \xi_2 son v.a. independientes
2. \xi = \xi_1 + \cdots + \xi_r \approx P(\lambda) con \lambda = \lambda_1 + \cdots + \lambda_r cuando \xi_1, \cdots, \xi_r son v.a. independientes

Aproximación de la Binomial a la Poisson

Sea \xi \approx P(\lambda)\approx B(n, p)
 
Si \exists \lim\limits_{n\to\infty, p\to 0}n\cdot p = \lambda \Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty, p\to 0}P(\xi = k ) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}
 
con k \in \{0, \cdots, n\}
 
Es decir, una Binomial, donde el número de pruebas de Bernoulli es grande (n tiende a infinito) y la probabilidad de éxito en cada prueba es pequeño (p tiende a 0) es aproximadamente una Poisson de parámetro \lambda=n\cdot p
 
Se considera una buena aproximación cuando n \geq 50 y p \leq 0.1

Cálculo de una Poisson

\lambda k

\xi \approx P(\lambda)

E(\xi)
\sigma^2(\xi)
\sigma(\xi)