Contenidos
- 1 Sucesos
- 1.1 Experimento aleatorio
- 1.2 Espacio muestral
- 1.3 Punto muestral
- 1.4 Suceso aleatorio
- 1.5 Ocurrencia de un suceso
- 1.6 Suceso seguro
- 1.7 Suceso imposible
- 1.8 Suceso contrario
- 1.9 Unión de sucesos
- 1.10 Intersección de sucesos
- 1.11 Diferencia de sucesos
- 1.12 Diferencia simétrica de sucesos
- 1.13 Leyes de Morgan
- 1.14 Suceso incompatible
- 1.15 Conjunto numerable
- 1.16 Conjunto contable
Sucesos
Un suceso o un conjunto de sucesos, es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio
Experimento aleatorio
Es aquel que bajo condiciones similares nos da diferentes resultados
Ejemplos de experimentos aleatorios
- Lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
- Extraer una carta de una baraja
- Calcular el tiempo de vida de una bombilla
- Medir la temperatura de un procesador después de una hora de trabajo
- Calcular el número de llamadas enviadas o recibidas por una línea de teléfono tras una hora
Espacio muestral
Conjunto formado por todos los posibles resultados asociados al experimento aleatorio
Es el conjunto total
Se representa con \Omega
Ejemplo de espacio muestral
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
El espacio muestral será \Omega=\{0,1,2,3\} para el número de caras obtenidas
Punto muestral
Resultado individual obtenido de un espacio muestral
Se representa con \omega
Siendo A un conjunto
Y se define p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}
Ejemplo de punto muestral
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
Si tras lanzar la moneda 3 veces hemos contado 2 caras, entonces el punto muestral es p(3)=2
Suceso aleatorio
Es un conjunto de puntos muestrales
Se representa con A
Se denota con letras mayúsculas (A_i)_{i\in I} familia (finita o infinita)
Y se define (A_i)_{i\in I} \in p(\Omega)
Ejemplo de suceso aleatorio
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio, si tras lanzar la moneda 3 veces hemos contado:
- 2 caras, entonces el punto muestral 1 es p(3_1)=2
- 0 caras, entonces el punto muestral 2 es p(3_2)=0
- 3 caras, entonces el punto muestral 3 es p(3_3)=2
- 2 caras, entonces el punto muestral 4 es p(3_4)=2
- 1 cara, entonces el punto muestral 5 es p(3_5)=1
El suceso aleatorio es A=\{2,0,2,2,1\}
Ocurrencia de un suceso
Diremos que ha ocurrido un suceso A si en una realización particular del experimento aleatorio se obtiene un punto muestral de P((A_i)_{i\in I})=\{A|A\subseteq\Omega\}
Ejemplo de ocurrencia de un suceso
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio
Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio, si tras lanzar la moneda 3 veces hemos obtenido :
- 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_1)=2
- 0 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_2)=0
- 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_3)=2
- 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_4)=2
- 1 cara, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_5)=1
Suceso seguro
Es aquel que ocurre siempre
Se representa con \Omega
Siendo A un conjunto
Se denota
p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}=\Omega
\Omega=\{x, x\in\Omega\}\not =\{\{x\},x\in\Omega\}\subseteq p(\Omega)
Ejemplo de suceso seguro
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
Obtener un número de caras (incluyendo el 0), es un suceso seguro porque siempre podremos contar el número de caras (aunque no salga ninguna, porque hemos incluido el 0)
El suceso seguro entonces es
\omega=\{«obtener un número de caras»\}
p(\omega)=\Omega
Suceso imposible
Es aquel que no ocurre nunca
Se representa con \emptyset
Siendo A un conjunto
Se denota
p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}=\emptyset
p(\emptyset)=1
Ejemplo de suceso imposible
En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras
Obtener el color rojo, es un suceso imposible porque en el experimento estamos teniendo en cuenta el número de caras obtenidas, no estamos teniendo en cuenta el color del dado
El suceso seguro entonces es
\omega=\{«obtener el color rojo»\}
p(\omega)=\emptyset
Suceso contrario
Llamaremos suceso contrario de A, al suceso que ocurre cuando no ocurre A
Se representa con A^c
Se denota A^c=\Omega\backslash A
Ejemplo de suceso contrario
En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras
Obtener cruz en vez de cara, es el suceso contrario porque estamos teniendo en cuenta el número de caras, no de cruces
Si A=\{«número de caras obtenidas»\} entonces el suceso contrario es A^c=\{«número de cruces obtenidas»\}
Unión de sucesos
Llamaremos suceso unión de A y B, al suceso que ocurre o A o B o los dos
Se representa con A\cup B
Siendo A un conjunto
Se denota \underset{i\in I}{\bigcup} A_i\in p(\Omega)
Ejemplo de unión de sucesos
En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\cup B=\{«número de caras o cruces obtenidas»\}=\{2,3,4,6\}
Intersección de sucesos
Llamaremos intersección de sucesos de A y B, al suceso que ocurre cuando ocurre A y B
Se representa con A\cap B
Siendo A un conjunto
Se denota \underset{i\in I}{\bigcap} A_i\in p(\Omega)
Ejemplo de intersección de sucesos
En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\cap B=\{«número par de caras y cruces obtenidas»\}=\{4\}
Diferencia de sucesos
Llamaremos diferencia de sucesos de A y B, al suceso que ocurre cuando ocurre A o B pero no los dos a la vez
Se representa con A \backslash B = A - B
Se denota A - B = A - A \cap B = A \cap B^c
Ejemplo de diferencia de sucesos
En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A-B=\{«número impar de caras o cruces obtenidas pero no las dos a la vez»\}=A - A\cap B=\{3,4\}-\{4\}=\{3\}
Diferencia simétrica de sucesos
Llamaremos diferencia simétrica de sucesos de A y B, al suceso de todos los sucesos que ocurre cuando ocurre A\cup B pero no A\cap B
Se representa con A \triangle B
Se denota A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B)
Ejemplo de diferencia simétrica de sucesos
En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\triangle B=\{«número par de caras o cruces obtenidas pero no número par de caras y cruces»\}=(A \cup B) - (A \cap B)=\{2,3,4,6\}-\{4\}=\{2,3,6\}
Leyes de Morgan
Leyes propuestas por Augustus De Morgan (1806-1871), un matemático y lógico británico nacido en la India, que enuncian los siguientes principios fundamentales del álgebra de la lógica:
-
La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones
-
La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones
Dentro de la estadística se pueden utilizar las siguientes definiciones de las leyes de Morgan:
Siendo A, B y C conjuntos
- \left(A\cup B\right)^c = A^c\cap B^c
cuya forma generalizada es
\left(\underset{i\in I}{\bigcup} A_i\right)^c = \underset{i\in I}{\bigcap} \left(A_i\right)^c - \left(A\cap B\right)^c = A^c\cup B^c
cuya forma generalizada es
\left(\underset{i\in I}{\bigcap} A_i\right)^c = \underset{i\in I}{\bigcup} \left(A_i\right)^c - A\cap\left(B\cup C\right) = \left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)
cuya forma generalizada es
\underset{j\in I}{\bigcap}\left(\underset{i\in I}{\bigcup} A_i\right) = \underset{i j\in I}{\bigcup}\left(\underset{j\in I}{\bigcap} A_{i j, j}\right) - A\cup\left(B\cap C\right) = \left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)
cuya forma generalizada es
\underset{j\in I}{\bigcup}\left(\underset{i\in I}{\bigcap} A_i\right) = \underset{i j\in I}{\bigcap}\left(\underset{j\in I}{\bigcup} A_{i j, j}\right)
Demostración 1
Queremos demostrar que \left(A\cup B\right)^c = A^c\cap B^c
\omega\in\left(A\cup B\right)^c \Rightarrow \omega \not \in A\cup B \Rightarrow \begin{cases} \omega \not \in A \\ \omega \not \in B \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \omega \in A^c \\ \omega \in B^c \end{cases} \Rightarrow \omega \in A^c\cap B^cCon lo que llegamos a lo que queríamos, quedando probado
Demostración 2
Queremos demostrar que \left(A\cap B\right)^c = A^c\cup B^c
\omega\in\left(A\cap B\right)^c \Rightarrow \omega \not \in A\cap B \Rightarrow \begin{cases} \omega \not \in A \\ \omega \not \in B \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \omega \in A^c \\ \omega \in B^c \end{cases} \Rightarrow \omega \in A^c\cup B^cCon lo que llegamos a lo que queríamos, quedando probado
Suceso incompatible
Diremos que A y B son sucesos incompatibles si no pueden ocurrir nunca a la vez
Se denota
A \cap B = \emptyset
A \cap A^c = \emptyset
Una familia \left(A_i\right)_{i\in I} de conjuntos 2 a 2 disjuntos (o mutuamente excluyentes) si A_i\cup A_j = \emptyset cuando i\not = j
Si una familia \left(A_i\right)_{i\in I} es mutuamente excluyente, la denotaremos \underset{i\in I}{\sqcup}A_i := \underset{i\in I}{\cup}A_i
Diremos que una familia \left(A_i\right)_{i\in I} es exhaustiva si A_i\cap A_j = \Omega
Conjunto numerable
Un conjunto se dice numerable si es biyectivo con \mathbb{N}
Conjunto contable
Un conjunto se dice contable si es numerable o finito