Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana:

Sea $x \in \mathbb{Q}, x > 0$. Entonces para cualquier $y \in \mathbb{Q}$ existe $n \in \mathbb{N}_0$ tal que $n\cdot x > y$

Demostración: propiedad arquimediana

Si $y \leq 0$ el resultado es trivial, pues basta tomar $n = 1$. Asumimos que $y > 0$. Queremos probar que existe $n \in \mathbb{N}_0$ que cumple $n > \frac{y}{x}$

El cociente de números racionales $\frac{y}{x}$ será un número racional $\frac{a}{b}$ con a y b enteros positivos. Así pues, $n > \frac{y}{x}=\frac{a}{b}$ equivale a decir $n \cdot b > a$ Y eso se consigue tomando $n = a + 1$ ya que:

$(a + 1)\cdot b = a\cdot b + b \geq a + b \geq a + 1 > a$

que es justo lo que pretendíamos