Números racionales

La extensión de los números enteros, \mathbb{Z}, a los números racionales \mathbb{Q}, tiene un claro paralelismo con la extensión de \mathbb{N}_0 a \mathbb{Z}. Como no podíamos restar en \mathbb{N}_0, nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo. Ahora nos encontramos el problema de que no siempre podemos dividir en \mathbb{Z}, y nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo

Para definir \mathbb{Z} tomábamos pares de números naturales, y aplicábamos una relación de equivalencia. La definición de \mathbb{Q} sigue los mismos pasos, pero una de manera aún más clara: los números racionales van a ser pares de números enteros, que se corresponden con el numerador y el denominador de cada fracción; además hay que tomar clases de equivalencia para identificar las fracciones que representan al mismo número

Como el denominador de una fracción no puede ser nulo, en lugar de tomar \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, se toma el conjunto:

\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\left\{0\right\})=\left\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Z} \quad b \not= 0\right\}

y en él definimos la relación \sim dada por:

(a, b)\sim (c, d) \Longleftrightarrow a\cdot d = b\cdot c

que se puede demostrar con facilidad, que es de equivalencia

(a, b) y (c, d) acabarán siendo, respectivamente los racionales \frac{a}{b} y \frac{c}{d}; aún no se puede hablar de la igualdad \frac{a}{b}=\frac{c}{d} (pues esas fracciones aún no existen), pero si tuviera sentido equivaldría a decir que a\cdot d = b\cdot c, que es lo que estamos utilizando para definir la relación de equivalencia

Ahora definimos \mathbb{Q} como el conjunto cociente: