Ejemplo de inducción: La suma de Gauss

La suma de Gauss es un ejemplo práctico del método de inducción

En 1789. Carl Friedrich Gauss (que llegaría a ser un gran matemático y físico), estando en la escuela, con la edad de nueve años, su profesor quería mantener ocupados a los niños durante un rato, les mandó sumar los cien primeros números. Apenas había terminado de asignar la tarea cuando Gauss se levantó y entregó su pizarra. Sobre la pizarra había un único número: 5050. Resultó que 5050 era precisamente la suma de los números desde uno hasta cien ¿Cómo había encontrado la solución tan rápido?

Gauss se dio cuenta de algo curioso. La suma que había que hacer era \sum\limits_{k=1}^{100} k, que puede llevar bastante tiempo si se hace en ese orden, pero si se suman el primero y el último número, se obtiene 101. Lo mismo ocurre si se suma el segundo con el penúltimo y el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente. Se puede ver que todas esas sumas tienen el mismo resultado: 101

Puesto que hay evidentemente 50 parejas cuya suma es 101, el resultado de la suma desde uno hasta cien es 50\times 101=5050. Esta manera de enfrentarse al problema es un excelente ejemplo de solución elegante

Esta solución no sólo vale para los números de uno a cien. En general, la suma de los n primeros números (siendo n un número par) es el último número más uno por el número de parejas, es decir \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2}

Ahora vamos a demostrar que \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2} se cumple para todos los números naturales usando el método de inducción:

Tomamos como P_n el lado izquierdo de la igualdad, comprobamos que para P_1 es cierta: P_1=\sum\limits_{k=1}^{1} k=1

Ahora lo comparamos con el lado derecho \frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=\frac{2}{2}=1. Como 1=1, tenemos que la igualdad era cierta para P_1

Suponemos que es cierta hasta n: \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2}

Ahora comprobamos que se cumple para n+1:

\sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)\cdot((n+1)+1)}{2}=\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}=\frac{n^2+2\cdot n+n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
(\sum\limits_{k=1}^{n} k)+(n+1)=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

Aplicamos la hipótesis de inducción: (\frac{n\cdot(n+1)}{2})+(n+1)=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

\frac{n\cdot(n+1)+2\cdot(n+1)}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
\frac{n^2+n+2\cdot n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

Se cumple, entonces P_n es cierta para todo n\geq n_0 y por tanto se cumple para todos los números naturales