El cuerpo de los números
El conjunto de los números es lo que se denomina un cuerpo (a veces se utiliza también la denominación de campo, como traducción literal del inglés field)
Un cuerpo es un conjunto con dos operaciones \displaystyle +\text{ y }\cdot (llamadas suma y producto), definidas sobre F de forma que cumplan las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa para la suma \displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\text{; }\forall a, b, c\in F
- Propiedad conmutativa para la suma \displaystyle a+b=b+a\text{; }\forall a, b\in F
- Elemento neutro de la suma
Existe algún elemento \displaystyle a+b=b+a\text{; }0\in F tal que \displaystyle a+0=a \text{; }\forall a\in F
Para todo \displaystyle a\in F, existe algún elemento \displaystyle b\in F tal que \displaystyle a+b=0 (ese b es el inverso respecto a la suma de a, que se denota mediante −a y se suele aludir a él diciendo que es el elemento opuesto de a) - Propiedad asociativa para el producto
\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\text{; }\forall a, b, c\in F - Propiedad conmutativa para el producto
\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\text{; }\forall a, b\in F - Elemento neutro del producto
Existe algún elemento \displaystyle 1\in F tal que \displaystyle a\cdot 1=a\text{; }\forall a\in F
Para todo \displaystyle a\in F con \displaystyle a\not=0, existe algún elemento \displaystyle b\in F tal que \displaystyle a\cdot b=1 (ese b es el inverso respecto del producto de a, que se denota mediante \displaystyle a^{-1})
Cuando la propiedad de la existencia de inverso respecto al producto falla, en vez de cuerpo, se tiene lo que se denomina anillo (el cuál tiene sus propias propiedades, las cuales no vamos a mencionar en este momento, pero que por su inexistencia de inverso difieren bastante de la multiplicación que se suele enseñar en primaria)
Por ejemplo, no son cuerpos los números naturales, los reales y los complejos. Otro conjunto que tampoco forman cuerpo son los polinomios (con coeficientes racionales, reales o complejos), pero sí lo forman las denominadas funciones racionales, es decir, los cocientes de polinomios