Diferencias naturales y enteros
Diferencias entre los naturales y enteros:
El conjunto de los enteros no es un conjunto bien ordenado (ya que el subconjunto de los enteros negativos no tiene mínimo)
Cualquier subconjunto no vacío de \mathbb{Z} acotado inferiormente tiene mínimo (y multiplicado por (-1), si es acotado superiormente, tiene máximo)
Al multiplicar enteros hemos de distinguir entre positivos y negativos, aplicando la denominada regla de los signos:
\begin{cases} \text{positivo }\cdot\text{positivo = positivo} \\ \text{positivo }\cdot\text{negativo = negativo} \\ \text{negativo }\cdot\text{positivo = negativo} \\ \text{negativo }\cdot\text{negativo = positivo} \end{cases}
El orden de \mathbb{Z} es un orden total, pero hay que destacar que cualquier número negativo es menor que cualquier positivo. Además hay que tener en cuenta estas propiedades para las operaciones:
\tiny\begin{cases} a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c \\ a \leq b, c \geq 0 \Rightarrow a \cdot c \leq b \cdot c \\ a \leq b, c < 0 \Rightarrow a \cdot c \geq b \cdot c & \text{si multiplicamos por un n}\acute{u}\text{mero negativo} \end{cases}
Tenemos a nuestra disposición la función valor absoluto (ó modulo):
\|a\|=\begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ (-a) & \text{if } a < 0 \end{cases}
A partir de la función valor absoluto y gracias a sus implicaciones geométricas, también tenemos a nuestra disposición la Desigualdad triangular: