Sucesiones, Cálculo infinitesimal

Subsucesiones

Subsucesiones

Las subsucesiones surgen de extraer nuevas sucesiones, cuyos términos son de la sucesión original y en el mismo orden

Es decir, tomamos infinitos términos, saltándonos algunos, pero sin volver atrás

Por ejemplo, dada la sucesión:

s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, s_6, s_7, s_8, s_9, \cdots, s_n, \cdots

Y ahora nos quedamos los términos que ocupan la posición impar:

s_1, s_3, s_5, s_7, s_9, \cdots, s_{2 \cdot n + 1}, \cdots

Y ahora nos quedamos los términos que ocupan la posición par:

s_2, s_4, s_6, s_8, s_{10}, \cdots, s_{2 \cdot n}, \cdots

Tanto la sucesión de impares como la de pares son subsucesiones de nuestra sucesión inicial

Pueden idearse muchas maneras distintas de extraer sucesiones de la sucesión inicial con este procedimiento

Dividir la sucesión inicial en subsucesiones, nos permite demostrar propiedades de la teoría de funciones reales de variables reales, de forma más sencilla que si lo haríamos directamente sobre la función

Definición de subsucesión

Dada una sucesión (s_n), se dice que otra sucesión (t_n) es una subsucesión de (s_n) si existe una función \varphi | \mathbb{N} \to \mathbb{N} estrictamente creciente, es decir:

\varphi(1) < \varphi(2) < \varphi(3) < \cdots < \varphi(n) < \varphi(n + 1) < \cdots, \forall n \in \mathbb{N} | t_n = s_{\varphi(n)}

De la definición de límite, resulta sencillo comprobar que si una sucesión es convergente, cualquier subsucesión suya será convergente y tendrán el mismo límite

Ejemplos

  • Sea n_0 \in \mathbb{N} | \varphi(n) = n + n_0 y continuando con la sucesión inicial del ejemplo, se obtiene la subsucesión:

    s_{n_0 + 1}, s_{n_0 + 2}, s_{n_0 + 3} + s_{n_0 + 4} + s_{n_0 + 5} + s_{n_0 + 6} + s_{n_0 + 7} + s_{n_0 + 8} + s_{n_0 + 9} + \cdots + s_{n_0 + n}, \cdots

    Que se obtiene de la inicial suprimiendo los n_0 términos

  • La sucesión de término n-ésimo t_n = 4 \cdot n^{2} es una subsucesión de término n-ésimo s_n = (-1)^n \cdot n^2, como podemos comprobar si tomamos \varphi(n) = 2\cdot n

  • La sucesión (1, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots) no es una subsucesión de \left ( \frac{1}{n} \right )^\infty_{n=1}, ya que aunque tienen los mismos términos, no tienen el mismo orden

    La sucesión (1, 0, \frac{1}{3}, 0, \frac{1}{5}, 0, \frac{1}{7}, 0, , \cdots, \frac{1 + (-1)^{n + 1})}{2\cdot n}, \cdots) tampoco es una subsucesión de \left ( \frac{1}{n} \right )^\infty_{n=1}, ya que aunque tienen los mismos términos, va alternando entre valores con el 0, rompiendo el orden

  • Toda subsucesión es una subsucesión de si misma (propiedad reflexiva)

    También se cumple la propiedad transitiva: si (u_n) es una subsucesión de (t_n) y (t_n) es una subsucesión de (s_n), que a su vez es una subsucesión de (s_n)

  • En C) hemos visto que \left ( (-1)^n \right ) no es una sucesión convergente

    Sin embargo, la subsucesión de sus términos pares converge a 1 y la subsucesión de sus términos impares converge a -1

  • La sucesión (x^n) para x \in [0, 1) converge a 0, ya que es convergente y \underset {n \to \infty} {\lim} x^n = a, vemos que \underset {n \to \infty} {\lim} x^{n+1} = a\cdot x

    A pesar de que (x^{n+1}) es una subsucesión de (x^n) (la que corresponde a \varphi(n) = n + 1 en la definición), luego su límite será \underset {n \to \infty} {\lim} x^{n + 1} = a, con a \cdot x = a y como x\neq 1 entonces a = 0

  • La enumeración diagonal de todos los números racionales forma una sucesión (s_n) que no es convergente

    Pero tiene una propiedad sorprendente, posee subsucesiones convergentes a cualquier número real

    Dado \alpha \in \mathbb{R}, construiremos una subsucesión (s_{n_k}) tal que \left \| s_{n_k} - \alpha \right \| < \frac{1}{k}, k\geq 1 y por tanto convergente a \alpha

    Para encontrar la subsucesión procederemos por inducción sobre k

    Seleccionamos n_1 tal que \left \| s_{n_1} - \alpha \right \| < 1, esto es posible ya que en el intervalo (\alpha - 1, \alpha + 1) existen infinitos números racionales

    Supongamos que ya hemos elegido n_1 < n_2 < \cdots < n_k tales que \left \| s_{n_j} - \alpha \right \| < \frac{1}{j}, j = 1, 2, \cdots, k

    Puesto que en un intervalo \left (\frac{\alpha - 1}{k + 1}, \frac{\alpha + 1}{k + 1} \right ) existen infinitos números racionales, podemos elegir n_{k + 1} > n_k tal que s_{n_{k+1}} pertenece a ese intervalo y, por tanto, \left \| s_{n_{k + 1}} - \alpha \right \| < \frac{1}{k + 1}

    Mediante este procedimiento hemos construido una subsucesión de (s_n) tal que \underset {k \to \infty} {\lim} s_{n_k} = \alpha

Una observación que nos puede ser útil en algunas circunstancias:

Si las subsucesiones (s_{2_n}) y (s_{n + 1}) son convergentes a un mismo valor, entonces la subsucesión (s_n) será convergente y su límite coincidirá con el de las subsucesiones

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente

Lema del Teorema de Bolzano-Weierstrass

Toda subsucesión posee una subsucesión monótona

Demostración del Lema del Teorema de Bolzano-Weierstrass

Llamaremos punto cumbre de una sucesión (a_n), \forall n\in \mathbb{N}|a_m < a_n con m > n

Distinguimos entre los siguientes casos:

  • La sucesión posee infinitos puntos cumbre

    Si n_1 < n_2 < n_3 < \cdots son los infinitos puntos cumbre de la sucesión, se tiene que a_1 > a_2 > a_3 > \cdots, de modo que (a_{n_k}) es una subsucesión decreciente, y por tanto, es la subsucesión monótona que buscábamos

  • La sucesión posee un conjunto finito de puntos cumbre

    Sea n_1 mayor que todos los puntos cumbre

    Como n_1 no es punto cumbre, \exists n_2 > n1\rightarrow a_{n_2}\geq a_{n_1}

    Como n_2 no es punto cumbre (ya que era mayor que n_1, y por tanto, mayor que todos los puntos cumbre), \exists n_3 > n2\rightarrow a_{n_3}\geq a_{n_2}

    Continuando con esta serie podremos construir (a_{a_k}) que es una subsucesión no decreciente, que es la que buscábamos

Demostración del Teorema de Bolzano-Weierstrass

Sea (s_n) una sucesión acotada

Por el Lema del Teorema de Bolzano-Weierstrass, poseerá una subsucesión monótona (s_{\varphi_(n)})

Como la sucesión es acotada, la sucesión también será acotada, y por tanto, también convergente. Quedando así demostrado

Sucesiones de Cauchy

Una sucesión (s_n)^\infty_{n=1} se dice que es de Cauchy si \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}|n,m > N\Rightarrow \left \| s_n - s_m \right \| < \epsilon

Si tomamos por ejemplo \epsilon=1 en la definición de sucesión de Cauchy, deducimos que si \exists N \in \mathbb{N}|n > N\Rightarrow \left \| s_n - s_{N + 1} \right \| < 1

De este hecho podemos deducir de manera inmediata que una sucesión de Cauchy es siempre acotada

Proposición

Una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy

Demostración de la proposición

Sean s_n \to a \in \mathbb{R} y \epsilon > 0

Por la definición de límite \exists N \in \mathbb{N} | n > N\Rightarrow \left \| s_n - a \right \| < \frac{\epsilon }{2}

Por tanto, si n, m > N \Rightarrow \left \| s_n - s_m \right \| = \left \| s_n - a + a - s_m \right \| \leq \left \| s_n - a \right \| + \left \| s_m - a \right \| < \frac{\epsilon }{2} + \frac{\epsilon }{2} = \epsilon

Recíprocamente, sea (s_n) una sucesión de Cauchy, por el Teorema de Bolzano-Weierstrass está acotada y nos asegura la existencia de una subsucesión (s_{\varphi(n)}) convergente a un a \in \mathbb{R}

Dado \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}|n,m > N\Rightarrow \left \| s_n - s_m \right \| < \frac{\epsilon }{2}

En particular, tenemos que \left \| s_n - s_{\varphi(n)} \right \| > \frac{\epsilon }{2}

Si tomamos el límite en m tenemos que si n > N\Rightarrow \left \| s_n - a \right \| \leqslant \frac{\epsilon }{2} < \epsilon

Con lo que queda demostrado que si la sucesión es de Cauchy, también es convergente