Operaciones de los números naturales

Vamos a ver las operaciones de los naturales

Con los axiomas de Peano y con el cero como primer elemento de \mathbb{N}_0, introducimos la notación de los demás:

\begin{cases}s(0)\text{ que lo llamamos 1} \\ s(1)\text{ que lo llamamos 2} \\ \cdots \\ s(n-1)\text{ que lo llamamos n}\end{cases}

Operación suma

La suma o (adición) en \mathbb{N}_0 es una operación que +|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

\begin{cases}a+0=a \\ a+s(b)=s(a+b) \end{cases}

Propiedades de la suma

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

• Propiedad asociativa para la suma
  a+(b+c)=(a+b)+c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a+b+c)
• Propiedad conmutativa para la suma
  a+b=b+a
• Elemento neutro de la suma
  0\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a+0=a; \forall a\in\mathbb{N}_0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a+b=0
• Propiedad de cancelación (simplificación) en la suma
  \text{Si }a+c=b+c\rightarrow a=b

Operación producto

El producto o (multiplicación) en \mathbb{N}_0 es una operación que \cdot|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

\begin{cases}a\cdot 0=0 \\ a\cdot s(b)=a+a\cdot b \end{cases}

Propiedades del producto

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

• Propiedad asociativa para el producto
  a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a\cdot b\cdot c)
• Propiedad conmutativa para el producto
  a\cdot b=b\cdot a
• Elemento neutro del producto
  1\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a\cdot 1=a; \forall a\in\mathbb{N}_0,a\not=0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a\cdot b=1
• Propiedad de cancelación (simplificación) en el producto
  \text{Si }a\cdot c=b\cdot c\text{ con }c\not= 0\rightarrow a=b

Operación suma y producto

Además suma y producto comparten la siguiente propiedad:

Propiedad de la suma y el producto

• Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
  \text{Si }a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

Nota si hubiésemos optado por representar los naturales sin el cero, en los axiomas de Peano bastaría cambiar \mathbb{N}_0 por \mathbb{N} y 0 por 1. Ya que el primer axioma sólo sirve para asegurar que \mathbb{N}_0 no es el conjunto vacío, y el nombre que se le de al primer elemento, no es relevante en su definición. Cuando si toma relevancia es cuando se definan las operaciones suma y producto. Si se construyen los naturales empezando en 1, la definición de la suma se comienza por a+1=s(a), y la del producto por a\cdot 1=a