Estadística Descriptiva

Usaremos la estadística descriptiva para describir el comportamiento de una característica, a partir de la masa de datos que nos proporciona la observación de la misma en la población, llevaremos a cabo una serie de operaciones como son:

• La reducción de la masa de datos, mediante la construcción de tablas de frecuencias y la realización del algunos gráficos
• En el caso de las variables cuantitativas, también podemos tomar algunas medidas que nos permitan caracterizar el comportamiento de la variable. Para ello debemos calcular algunos estadísticos como son las medidas de posición, de dispersión y de forma

Con todo ello, podemos describir perfectamente el comportamiento de nuestra variable

Descripción y organización de los datos

Cuando se usan programas de ordenador es habitual nombrar a las variables de forma que no haya equívocos respecto al contenido de las mismas, pero no nos debemos olvidar de que lo normal en estadística, sobre todo cuando se dan resultados generales es nombrar a las variables estadísticas usando letras mayúsculas, preferentemente las últimas del abecedario: X, Y, Z, \cdots, y los distintos valores que toma dicha variable se nombran con la misma letra pero en minúsculas: x_1, x_2, x_3, \cdots

Usaremos esta notación, para dar las siguientes definiciones:

Frecuencia absoluta de un determinado valor, x_i, de la variable (y la representaremos por n_i): es el número de veces que se presenta ese determinado valor x_i

Frecuencia relativa de un determinado valor, x_i, de la variable (y la representaremos por f_i): es la proporción de veces que aparece ese valor en el conjunto de observaciones y se calcula como el cociente de su frecuencia absoluta (n_i) y el número total de datos (N)

Es decir: \frac{n_i}{N}

Frecuencia absoluta acumulada de un determinado valor, x_i, de la variable (y la representaremos por N_i): es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores de la variable menores o iguales que dicho valor x_i

Es decir: N_i=n_1+\cdots+n_i=\sum\limits_{j=1}^{i} n_j; N_k=N

Frecuencia relativa acumulada de un determinado valor, x_i, de la variable (y la representaremos por F_i): es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores de la variable menores o iguales que dicho valor, x_i

Es decir: F_i=f_1+\cdots+f_i=\sum\limits_{j=1}^{i} f_j=\frac{N_i}{N}; F_k=1

Las frecuencias acumuladas sólo tienen sentido si la escala es ordinal o cuantitativa. Cuando en un conjunto de valores observados de una variable se realizan las operaciones de ordenación y agrupación de los valores que se repiten (determinación de la frecuencia de cada valor), se obtiene una tabla estadística de distribución de frecuencias

A dicho conjunto de operaciones se le denomina tabulación

Cuando una variable tiene muchos valores diferentes, en ocasiones (aunque no suele ser recomendable), antes de su análisis se procede a agrupar los valores observados en intervalos

En estos casos, lo que se hace es definir los intervalos (que pueden ser de amplitud constante o no) y luego calcular la frecuencia para los valores de la variable que están en cada uno de los intervalos. Es decir, las frecuencias no representan las veces o proporción de veces que aparece un valor, sino cuántas veces (o qué proporción de veces) se han obtenido valores de la variable en cada intervalo

Cada intervalo queda perfectamente delimitado por sus límites, así para el i-ésimo intervalo: l_{i-1} sería el límite inferior y l_i sería el límite superior

La amplitud del intervalo a_i es la distancia entre ambos límites: a_i = l_i - l_{i-1}

Para facilitar el manejo matemático de los intervalos es necesario considerar un valor concreto de la variable como representante de cada intervalo, al que se llama marca de clase, y se denota por x_i. Generalmente se toma como marca de clase, el punto medio del intervalo, aunque hay que tener cuidado ya que no siempre es el mejor representante del mismo

En el caso de que los intervalos tengan distinta amplitud, un valor a tener en cuenta es la densidad de frecuencia, que es el número de observaciones de la variable por unidad
de longitud

Es decir: h_i = \frac{n_i}{a_i}

Por afinidad con la función de densidad (que se tratará más adelante), en algunas ocasiones también se utiliza la densidad de frecuencias relativas, que no es otra cosa que la proporción de observaciones por unidad de longitud

Es decir: h'_i = \frac{f_i}{a_i}

Medidas estadísticas

Las medidas estadísticas con valores numéricos nos indican los rasgos más importantes de las distribuciones de frecuencias y se clasifican en los siguientes grupos en función de lo que tratan de medir:

\text{Medidas}\left\{\begin{matrix}\text{de posici\'on}& \left\{\begin{matrix}\text{central}& \\\text{no central}\end{matrix}\right.& \\ \text{de dispersi\'on}& \left\{\begin{matrix}\text{absoluta}& \\\text{relativa}\end{matrix}\right.& \\\text{de forma}& \left\{\begin{matrix}\text{de asimetr\'ia}& \\\text{de curtosis}\end{matrix}\right.& \\\text{de concentraci\'on}\end{matrix}\right.

Gráficos

Para resumir la información también es muy habitual utilizar gráficos. Veamos algunos de los más sencillos:

• Diagrama de barras: Se utiliza en variables sin agrupar en intervalos. Sobre un sistema de ejes coordenados se colocan, en el eje de abscisas los valores de la variable y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas, entonces, sobre cada valor de la variable se levanta una barra cuya altura es igual a su frecuencia absoluta

  Si en lugar de frecuencias absolutas usamos frecuencias relativas el gráfico resultante es análogo pero N veces menor

  También se suele utilizar para mostrar los valores observados de una variable

• Diagrama de sectores: Se utiliza, generalmente, para variables no agrupadas en intervalos y consiste en dividir el área de un círculo en sectores proporcionales a las frecuencias (absolutas o relativas)). Los grados que abarca cada sector los obtenemos mediante una sencilla regla de tres, teniendo en cuenta que al total de datos (N) le corresponden 360^o
• Histograma de frecuencias: Se utiliza para variables agrupadas en intervalos. Se construye levantando sobre cada intervalo, representado en el eje de abscisas, un rectángulo cuya área es proporcional a la frecuencia (absoluta o relativa) en dicho intervalo.En general, la altura del rectángulo del intervalo i-ésimo es proporcional a la densidad de frecuencia. En particular, si todos los intervalos tienen la misma amplitud podemos tomar, como altura de los rectángulos, las frecuencias