Sucesiones

Pensemos que son las sucesiones

Informalmente, una sucesión de números reales es una lista limitada por números s_1, s_2, s_3, s_4, \cdots, s_n, \cdots (donde n indica el lugar que ocupa el número s_n en la lista); es obvio que se trata de una función real con dominio \mathbb{N}

Sucesión

Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio \mathbb{N} y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con dominio \mathbb{R}, es decir, una aplicación s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}

Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada n\in\mathbb{N} se denota por s_n, en lugar de s(n) como cualquier otra función. Normalmente nos referiremos a s_n con el nombre de término n-ésimo de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa

Como el dominio \mathbb{N} es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}, es más frecuente encontrar notaciones del tipo (s_n)_{n\in\mathbb{N}} ó (s_n)_{n=1}^{\infty}\text{, }\left\{s_n\right\}_{n=1}^{\infty} ó (s_n), si no da lugar a confusión, o alguna similar, poniendo mayor énfasis en los términos

Aunque la notación pueda propiciar confusión, no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la sucesión y el conjunto de valores que toma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obsérvese, que por ejemplo, una sucesión tiene siempre infinitos términos incluso aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes

Las sucesiones se indican dando una fórmula que defina el término n-ésimo, siendo las más corrientes:

• Sucesión constante:
  s_n=a, donde a es un número real prefijado y consta de los términos a, a, a, a, \cdots, a, \cdots
• Sucesión de los números naturales:
  s_n=n, consta de los términos 1, 2, 3, 4, \cdots, n, \cdots
• Sucesión de los números fraccionarios:
  s_n=\frac{1}{n}, consta de los términos 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots
• Sucesión de 1, -1:
  s_n=(-1)^n, consta de los términos -1, 1, -1, 1, \cdots, (-1)^n, \cdots
• Sucesiones algebraicas complejas:
  Las fórmulas no tienen por qué referirse únicamente a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, la sucesión de las aproximaciones decimales de \pi, consta de los términos 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, \cdots, 3.14159265, \cdots

  Podemos dar una fórmula explícita para el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera, aunque no supiéramos escribir todas las cifras del término, por ejemplo, un millón

  Concretamente, para cada n\in\mathbb{N}, s_n= 3 + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \cdots + \frac{a_k}{10^k} + \cdots + \frac{a_n}{10^n} donde a_k= [10^k \cdot \pi] - 10 \cdot [10^{k-1} \cdot \pi] (1 \leq k\leq n)

  El hecho de que esta fórmula no proporcione un algoritmo de cálculo para los a_k no impide que estos estén definidos sin ambigüedad y sin excepción alguna

• Sucesiones recurrentes:
  Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en función de los anteriores (mediante una definición inductiva o recursiva). Un ejemplo de este tipo es la sucesión de Fibonacci:

  s_1=s_2=1, s_{n+2}=s_{n+1}+s_n, n\in\mathbb{N}, consta de los términos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \cdots

• Sucesión de carácter no matemático
  La regla que define una sucesión no tiene por qué ser de carácter estrictamente matemático. Por ejemplo, podemos definir una sucesión de la siguiente manera:

  \tiny s_n=\left\{\begin{matrix}\frac{10^7}{3} & \text{si el nombre del n}\acute{u}\text{mero n contiene la letra d} \\ \sqrt{n} & \text{en caso contrario}\end{matrix}\right.
  
  O mediante cualquier otra condición que permita asegurar que para cada n\in\mathbb{N} se le asocia sin excepción, inequívocamente un único número real perfectamente definido

• Sucesión que es exactamente un conjunto numérico
  Existen sucesiones cuyo rango es exáctamente \mathbb{Z} ó \mathbb{Q}; la construcción usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor

  s_1=0, s_2=1, s_3=\frac{1}{2}, s_4=\frac{-1}{2}, \cdots

  Esta construcción, que admite repetidos, permite probar que el conjunto de los racionales es numerable; es decir, su cardinal coincide con el de los naturales

Límite de la sucesión

Una sucesión (s_n) se dice convergente si existe un número real a tal que para cada \epsilon > 0 se puede encontrar un número natural N=N(\epsilon) de modo que siempre que n>N se verifique \left \|s_n-a\right \|<\epsilon

Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión (s_n) y se escribe a=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n. También diremos que s_n converge al número a

La expresión s_n \to a se usa para indicar que la sucesión de término n-ésimo s_n es convergente y tiene por límite a

Hay que recordar que la desigualdad \left \|s_n-a\right \|<\epsilon es equivalente a las dos desigualdades -\epsilon < s_n - a < \epsilon que equivalen a su vez a las desigualdades a-\epsilon < s_n < a+\epsilon

• La sucesión constante s_n=c (c\in\mathbb{R}) converge al número \epsilon
• La sucesión s_n=\frac{1}{n} converge a 0 (como consecuencia de la propiedad arquimediana)
• La sucesión s_n=(-1)^n no es convergente si tuviese límite 1, tomando \epsilon=2 en la definición de límite, tendría que ser \left \|s_n-1\right \|<2 para todo n suficientemente grande; sin embargo \left \|s_n-1\right \|=2 para todos los n impares. Y si tuviese límite a\not=1, tomando \epsilon=\left \|1-a\right \|, tendría que ser \left \|s_n-a \right \| < \left \|1-a \right \| para todo n suficientemente grande; sin embargo \left \|s_n-a \right \| = \left \|1-a \right \| para todos los n pares

  Conclusión: la sucesión no tiene límite

• La sucesión s_n=n no puede ser convergente, pues si tuviese límite a, tomando \epsilon=1 en la definición de convergencia, para algún N habría de ser n<a+1 siempre que n fuese mayor que N, lo cual es imposible (como consecuencia de la propiedad arquimediana)

Proposición: unicidad del límite de una sucesión

Sea (s_n) una sucesión convergente y a, b \in \mathbb{R} tales que a=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n, b=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n entonces a=b

Demostración

Como a y b son límites de la sucesión s_n, dado \epsilon > 0 existirán N y N’ tales que

\left\{\begin{matrix}\left \| s_n-a \right \|\leq \frac{\epsilon}{2} & \text{si }n > N \\\left \| s_n-b \right \|\leq \frac{\epsilon}{2} & \text{si }n > N'\end{matrix}\right.

Entonces \left \|a-b\right\|=\left\|a-s_n+s_n-b\right\|\leq \left\|s_n-a\right\|+\left\|s_n-b\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon, por tanto \left\|a-b\right\|=0\rightarrow a=b

Conclusión: el límite de una sucesión convergente es el único número real al que la sucesión converge

Sucesión acotada

Una sucesión (s_n)_{n=1}^{\infty} se dice que está acotada superiormente si existe algún número C\in\mathbb{R} tal que para todo n\in\mathbb{N}, s_n \leq C

Se dice que está acotada inferiormente si existe algún número K\in\mathbb{R} tal que para todo n\in\mathbb{N}, K\leq s_n

Se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente. Equivale a decir que existe un número M\geq 0 tal que para todo n\in\mathbb{N}, \left\|s_n\right\|\leq M

Proposición: Convergente y acotada

Toda sucesión convergente está acotada

Demostración

Sea (s_n) una sucesión convergente a un número a\in\mathbb{R}

Tomamos \epsilon=1 en la definición de límite y existirá algún N\in\mathbb{N} tal que \left\|s_n-a\right\| < 1 para todo n >N

Si B=\max\lbrace 1,\left\|s_1-a\right\|, \left\|s_2-a\right\|, \cdots, \left\|s_N-a\right\|\rbrace se tiene que \left\|s_n-a\right\|\leq B, es decir, a-B\leq s_n \leq a+B para todo n\in \mathbb{N}

Conclusión: la sucesión está acotada

Sucesión monótona

Una sucesión (s_n) es monótona no decreciente si \forall n \in \mathbb{N} se verifica s_n\leq s_{n+1}

Una sucesión (s_n) es monótona no creciente si \forall n \in \mathbb{N} se verifica s_n \geq s_{n+1}

Una sucesión (s_n) es estrictamente creciente si \forall n \in \mathbb{N} se verifica s_n < s_{n+1}

Una sucesión (s_n) es estrictamente decreciente si \forall n \in \mathbb{N} se verifica s_n > s_{n+1}

Una sucesión es monótona si se cumple alguno de los casos anteriores

Proposición: equivalencia con convergencia a 0

Si (s_n) es una sucesión acotada y (t_n) es una sucesión convergente a 0, la sucesión (s_n \cdot t_n) converge a 0

Demostración

Sea \epsilon > 0, K > 0 tal que \left\|s_n\right\| \leq K, \forall n \in\mathbb{N}

Usando la definición de convergencia de t_n para \frac{\epsilon}{K} se tiene que \left\|s_n \cdot t_n\right\| \leq K \cdot \left\|t_n\right\|\leq K\cdot \frac{\epsilon}{K}=\epsilon

Conclusión: (s_n \cdot t_n) converge a 0

Proposición: convergente si acotada superiormente o inferiormente

• Sea (s_n) una sucesión monótona no decreciente. Entonces (s_n) es convergente si y sólo si está acotada superiormente, en cuyo caso \underset {n \to \infty} {\lim} s_n=\sup\lbrace s_n|n\in\mathbb{N}\rbrace
• Sea (s_n) una sucesión monótona no creciente. Entonces (s_n) es convergente si y sólo si está acotada inferiormente, en cuyo caso \underset {n \to \infty} {\lim} s_n=\inf\lbrace s_n|n\in\mathbb{N}\rbrace

Demostración: A

Sea (s_n) una sucesión monótona no decreciente. Si la sucesión converge entonces está acotada (superiormente); esto demuestra una implicación del apartado A

Ahora supongamos que la sucesión está acotada superiormente, sea a su supremo y veremos que la sucesión converge al punto a

Sea \epsilon > 0 y como a-\epsilon < a, el número a-\epsilon no puede ser una cota superior de la sucesión y por tanto existirá algún N\in\mathbb{N} tal que a-\epsilon < s_N

Como la sucesión es no decreciente, para cada n > N se tiene que a-\epsilon < s_N \leq s_{N+1}\leq \cdots\leq s_n y por tanto, a-\epsilon < s_n < a + \epsilon

Conclusión: la sucesión converge al punto a

Demostración: B

Sea (s_n) una sucesión monótona no creciente. Si la sucesión converge entonces está acotada (inferiormente); esto demuestra una implicación del apartado B

Ahora supongamos que la sucesión está acotada inferiormente, sea b su ínfimo y veremos que la sucesión converge al punto b

Sea \epsilon > 0 y como b-\epsilon > b, el número b-\epsilon no puede ser una cota inferior de la sucesión y por tanto existirá algún N\in\mathbb{N} tal que b-\epsilon > s_N

Como la sucesión es no creciente, para cada n < N se tiene que b-\epsilon > s_N \geq s_{N+1}\geq \cdots\geq s_n y por tanto, b-\epsilon > s_n > b + \epsilon

Conclusión: la sucesión converge al punto b

Proposición: equivalencias de sucesiones convergentes

Sean (s_n) y (t_n) sucesiones convergentes con límites a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n, b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n y c \in \mathbb{C}

• (s_n + t_n) es convergente y tiene límite a + b
• (c \cdot s_n) es convergente y tiene límite c \cdot a
• (s_n \cdot t_n) es convergente y tiene límite a \cdot b
• Si la sucesión (t_n) no contiene términos nulos y b \not= 0 entonces (\frac{s_n}{t_n}) es convergente y tiene límite (\frac{a}{b})

Demostración: A

Sea \epsilon > 0
a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \Rightarrow \exists \omega_1 tal que \left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{2}; \forall n > N_1 con n, N_1 \in \mathbb{N}
b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n \Rightarrow \exists \omega_2 tal que \left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon}{2}; \forall n > N_2 con n, N_2 \in \mathbb{N}
Entonces N > \max\lbrace N_1, N_2 \rbrace, por tanto si n > N se cumple que \left\|(s_n + t_n) - (a + b)\right\| \leq \left\|(s_n - a)\right\| + \left\|(t_n - b)\right\| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon

Conclusión: la sucesión (s_n + t_n) es convergente y tiene límite a + b

Demostración: B

Si c = 0 el resultado es trivial. Por tanto supondremos que c \not= 0
\exists n, N_1 \in \mathbb{N} tal que n > N_1 entonces \left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{\left\|c\right\|}
Entonces \left\|c \cdot s_n - c \cdot a\right\| = \left\|c\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\| < \frac{\left\|c\right\| \cdot c}{\left\|c\right\|} = \epsilon

Conclusión: la sucesión (c \cdot s_n) es convergente y tiene límite c \cdot a

Demostración: C

Sea \epsilon > 0
a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \Rightarrow \exists \omega_1 tal que \left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{2 \cdot \left\|b\right\| + 1}; \forall n > N_1 con n, N_1 \in \mathbb{N}
b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n \Rightarrow \exists \omega_2 tal que \left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon}{2 \cdot K}; \forall n > N_2 con n, N_2 \in \mathbb{N}
Entonces \left\|s_n \cdot t_n - a \cdot b\right\| = \left\|s_n \cdot t_n - s_n \cdot b - a \cdot b \right\| \leq \left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|b\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\| \leq K \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot K} + \left\|b\right\| \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot \left\|b\right\| + 1} < \epsilon

Conclusión: la sucesión (s_n \cdot t_n) es convergente y tiene límite a \cdot b

Demostración: D

Sea \epsilon > 0
\left\|\frac{s_n}{t_n}-\frac{a}{b}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b - t_n \cdot a}{b \cdot t_n}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b - t_n \cdot a}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b + s_n \cdot t_n - s_n \cdot t_n - t_n \cdot a}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| \leq \left\|\frac{\left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|t_n\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\|}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\|

Entonces \exists n, N_1\in \mathbb{N} tal que si n > N_1 se tiene que \left\|t_n\right\| > \frac{\left\|b\right\|}{2}

Por ser s_n y t_n sucesiones convergentes \exists K_1, K_2 > 0; \forall n \in \mathbb{N} tales que \left\|s_n\right\| < K_1 y \left\|t_n\right\| < K_2

Entonces para el límite s_n \exists n, N_2\in \mathbb{N} tal que si n > N_2 se tiene que \left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_2}

Entonces para el límite t_n \exists n, N_3\in \mathbb{N} tal que si n > N_3 se tiene que \left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_1}

Entonces n > \max\lbrace N_1, N_2, N_3 \rbrace, por tanto si n > N se cumple que \left\|\frac{s_n}{t_n}-\frac{a}{b}\right\| \leq \left\|\frac{\left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|t_n\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\|}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| < \frac{k_1 \cdot \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_1} + k_2 \cdot \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_2} }{\frac{\left\|b\right\| \cdot \left\|b\right\|}{2} } = \epsilon

Conclusión: la sucesión (\frac{s_n}{t_n}) es convergente y tiene límite (\frac{a}{b})

Proposición: existencia de intervalos acotados en sucesiones convergentes

Sean (s_n) y (t_n) sucesiones convergentes y \exists m | s_n \leqslant t_n \forall n > m

Entonces \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n

Demostración

La sucesión t_n - s_n cumple la desigualdad 0 \leqslant t_n - s_n, \forall n > m y converge a \underset {n \to \infty} {\lim} t_n - \underset {n \to \infty} {\lim} s_n

Sustituimos la desigualdad 0 \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n - \underset {n \to \infty} {\lim} s_n, por tanto se cumple que \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n

Conclusión: existe el intervalo acotado s_n \leqslant t_n para las sucesiones convergentes (s_n) y (t_n)

Teorema de Cantor de los intervalos encajados

Como consecuencia de la proposición de existencia de intervalos acotados en sucesiones convergentes podemos enumera el Teorema de Cantor de los intervalos encajados para que la intersección este formada por un único punto

\forall n \in \mathbb{N}, sea I_n =[ a_n, b_n] \leq \emptyset un intervalo cerrado

Supongamos que I_{n+1}\subseteq I_n es decir a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n y que además \underset {n \to \infty} {\lim} \left ( b_n - a_n \right ) = 0

Entonces \underset {\in \mathbb{N}} {\bigcap} I_n = \left \{ x \right \} donde x = \underset {n \to \infty} {\lim} a_n = \underset {n \to \infty} {\lim} b_n

Demostración

Por hipótesis, la sucesión (a_n) es monótona no decreciente y acotada superiormente (por ejemplo b_1), por tanto converge a x\in\mathbb{R}

Análogamente, la sucesión (b_n) converge a r\in\mathbb{R} y por la proposición anterior a_n\leqslant x \leqslant r \leqslant b_n, \forall n \in\mathbb{N}

Sustituimos la condición \underset {n \to \infty} {\lim} (b_n - a_n) = 0 que nos asegura que x = r y que \left \{ x \right \} = \underset {n \in \mathbb{N}} {\bigcap} I_n

Con lo que queda probado el Teorema de Cantor de los intervalos encajados

Proposición: Regla del sandwich

Sean (s_n), (t_n) y (u_n) y \exists m \in\mathbb{N} | s_n \leqslant t_n \leqslant u_n, \forall n > m

Si (s_n) y (u_n) son sucesiones convergentes y \underset {n \to \infty} {\lim} s_n = \underset {n \to \infty} {\lim} u_n = a

Entonces (t_n) es también convergente y \underset {n \to \infty} {\lim} t_n = a

Demostración

Sea \epsilon > 0, por la definición de límite \exists N_1 \in \mathbb{N}\Rightarrow \text{si }n > N_1 \rightarrow \left \| s_n - a \right \| < \epsilon

Es decir a - \epsilon < s_n < a + \epsilon

Análogamente \exists N_2 \in \mathbb{N}\Rightarrow \text{si }n > N_2 \rightarrow \left \| u_n - a \right \| < \epsilon

Entonces si n > \text{m\'{a}x}\left \{ m, N_1, N_2 \right \} se tiene que a - \epsilon < s_n \leqslant t_n \leqslant u_n < a + \epsilon o lo que es equivalente \left \| t_n -a \right \| < \epsilon

Con lo que hemos probado la Regla del sandwich