Números

Los números deben ser construidos con el rigor exigido por las matemáticas y no únicamente con nuestra intuición

Por ello necesitamos construirlos a partir de conceptos y propiedades primitivas, porque como dijo Leopold Kronecker:

Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre

Partiendo de una matemática «básica» existe un concepto denominado conjunto y cada conjunto está constituido por una colección de elementos (que son únicos y distintos entre sí) los cuales pertenecen al conjunto. En el caso de que en el conjunto no aparezca ningún elemento, tendremos un conjunto vacío y se denota por \emptyset

En caso de no ver claro la necesidad lógica de introducir los números, se sugiere tratar de responder la sencilla pregunta de ¿qué es un número? y trate de responderla de forma intuitiva

Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de números, nos encontramos con de las fracciones. Sólo las fracciones unitarias (inversas de los naturales \frac{1}{20}) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción \frac{2}{3} que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo \frac{n}{n+1}. Hay tablas de descomposición de \frac{2}{n} desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo \frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15} ó \frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}, pero no se sabe por qué no utilizaban \frac{2}{n}=\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n} pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que \frac{1}{n}

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}. La operación fundamental es la suma y nuestra multiplicación y división se hacía por «duplicación» y «mediación», por ejemplo 69\cdot 19=69\cdot (16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación

Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, una extensión de las fracciones, pero XXX vale para 2\cdot 60+2, 2+2\cdot 60-1 ó 2\cdot 60-1+2\cdot 60-2 con una representación basada en la interpretación del problema

Para calcular recurrían a las numerosas tablas de que disponían: de multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a_1, y calculaban b_1=\frac{a}{a_1} (una mayor y otra menor) y entonces a_2=\frac{(a_1+b_1)}{2} es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos b_2=\frac{a}{a_2} y a_3=\frac{(a_2+b_2)}{2} obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a_3 partiendo de a_1=1;30

Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están \frac{1}{59}=;1,1,1 (nuestro \frac{1}{9}=0,\stackrel{\frown}{1}) y \frac{1}{61}=;0,59,0,59 (nuestro \frac{1}{11}=0,\stackrel{\frown}{09}) pero no se percataron del desarrollo periódico