Probabilidad, Estadística

Probabilidad condicionada

Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada de A dado B con \Omega espacio muestral de A y B sucesos con P(B)\not=0 será la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido el suceso B:

P(A | B) = \frac{P(A \cup B)}{P(B)}

Propiedades

  1. P(\emptyset | A) = 0
  2. P(\Omega | A) = 1
  3. 0 \leq P(B | A) \leq 1
  4. P(B^c | A) = 1 - P(B | A)
  5. P(A \cup B | C) = P(A | C) + P(B | C) - P(A \cap B | C)
  6. P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1)
  7. P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdot P(A_3) P(A_3 | A_1 \cap A_2)
  8. P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 | A_1) \cdots P(A_n) \cdot P(A_n | A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n-1})

Suceso independiente

Sea \Omega espacio muestral de A y B sucesos, diremos que que son independientes si se cumple alguna de las siguientes propiedades equivalentes:

  • P(A | B) = P(A)
  • P(B | A) = P(B)
  • P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Entonces, cuando sea \Omega espacio muestral de A_1, \cdots, A_n sucesos, diremos que son independientes si y sólo si:

\text{1) }P(A_i \cap A_j) = P(A_i) P(A_j), \forall i \not= j
\text{2) }P(A_i \cap A_j \cap A_k) = P(A_i) P(A_j) P(A_k), \forall i \not= j, i \not= k, j \not= k
\cdots)
\text{n-1) }P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \cdots P(A_n)

Suceso dependiente

Diremos que son dependientes si no son dependientes:

  • P(A | B) \not= P(A)
  • P(A | B) > P(A)
  • P(A | B) < P(A)

Dependencia e incompatibilidad

Si A y B tienen probabilidades no nulas e incompatibles, entonces son dependientes

Incompatibles: A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0

Independientes: P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Teorema de la probabilidad

Sea \Omega espacio muestral de A_1, \cdots, A_n sucesos, diremos que forma un sistema completo de sucesos (SCS) si y sólo si cumplen:

  1. A_i \not= \emptyset, \forall i
  2. A_i \cap A_j \not= \emptyset, \forall i \not= j
  3. A_1 \cup \cdots \cup A_n = \Omega

Teorema de la probabilidad total

Sea \Omega espacio muestral con A_1, \cdots, A_n un sistema completo de sucesos y sea B otro suceso distinto, entonces:

P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + \cdots + P(B | A_n) \cdot P(A_n)

Demostración

P(B) = P(B \cup A_1) + \cdots + P(B \cup A_n) \cdot P(B | A) = \frac{P(B \cup A)}{P(A)} P(B \cup A) = P(B | A) \cdot P(A) P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + \cdots + P(B | A_n) \cdot P(A_n)

Teorema de Bayes

Sea \Omega espacio muestral con A_1, \cdots, A_n un sistema completo de sucesos y sea B otro suceso distinto, entonces:

P(A_i | B) = \frac{P(B | A_i) P(A_i)}{P(B)}, \forall i \in \{1, \cdots, n\}

Ejemplo del Teorema de Bayes

Toda la producción de una empresa es realizado por 3 máquinas de forma independiente. La primera realiza la mitad del trabajo, la segunda la quinta parte y la tercera el resto. Estas máquinas han producido hasta el momento un 2%, 4% y 3% de unidades defectuosas, respectivamente. Queremos calcular:

  1. El porcentaje de piezas defectuosas que produce la empresa
  2. Si elegimos una pieza al azar y resulta que es defectuosa ¿cuál es la máquina más probable que la produjera?

Antes de realizar ningún cálculo, vamos a ordenar la información que nos da el problema

Probabilidad de que una pieza esté producida en una máquina determinada:

Probabilidad de la máquina Resultado
P(M_1) \frac{1}{2} = 0.5
P(M_2) \frac{1}{5} = 0.2
P(M_3) 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{10-5-2}{10}=\frac{3}{10}=0.3

Probabilidad de que una pieza sea defectuosa, en función de que esté producida en una máquina determinada:

Probabilidad sea defectuosa y de la máquina Resultado
P(D | M_1) 2\cdot \frac{1}{100} = 0.02
P(D | M_2) 4\cdot \frac{1}{100} = 0.04
P(D | M_3) 3\cdot \frac{1}{100} = 0.03

Ahora pasamos a resolver las preguntas

  1. Aplicamos el teorema de la probabilidad total
     
    P(D) = P(D | M_1) \cdot P(M_1) + P(D | M_2) \cdot P(M_2) + P(D | M_3) \cdot P(M_3)
    = 0.02 \cdot 0.5 + 0.04 \cdot 0.2 + 0.03 \cdot 0.3 = 0.027
     
    Por tanto, la empresa produce un 0.027 \cdot 100 = 2.7\% de piezas defectuosas
     
  2. Antes de poder responder a la pregunta necesitamos calcular las probabilidades de cada máquina individualmente y luego elegir la que sea mayor. Para ello, utilizaremos el Teorema de Bayes
     
    P(M_1 | D) = \frac{P(D | M_1) \cdot P(M_1)}{P(D)} = \frac{0.02 \cdot 0.5}{0.027} = 0.3704

    P(M_2 | D) = \frac{P(D | M_2) \cdot P(M_2)}{P(D)} = \frac{0.04 \cdot 0.2}{0.027} = 0.2963

    P(M_3 | D) = \frac{P(D | M_3) \cdot P(M_3)}{P(D)} = \frac{0.03 \cdot 0.3}{0.027} = 0.3333
     
    Por lo tanto, la máquina más probable que produjera la pieza defectuosa, es M_1