Sucesos

Un suceso o un conjunto de sucesos, es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio

Experimento aleatorio

Es aquel que bajo condiciones similares nos da diferentes resultados

Ejemplos de experimentos aleatorios

• Lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces
• Extraer una carta de una baraja
• Calcular el tiempo de vida de una bombilla
• Medir la temperatura de un procesador después de una hora de trabajo
• Calcular el número de llamadas enviadas o recibidas por una línea de teléfono tras una hora

Espacio muestral

Conjunto formado por todos los posibles resultados asociados al experimento aleatorio

Es el conjunto total

Se representa con \Omega

Ejemplo de espacio muestral

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

El espacio muestral será \Omega=\{0,1,2,3\} para el número de caras obtenidas

Punto muestral

Resultado individual obtenido de un espacio muestral

Se representa con \omega

Siendo A un conjunto

Y se define p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}

Ejemplo de punto muestral

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

Si tras lanzar la moneda 3 veces hemos contado 2 caras, entonces el punto muestral es p(3)=2

Suceso aleatorio

Es un conjunto de puntos muestrales

Se representa con A

Se denota con letras mayúsculas (A_i)_{i\in I} familia (finita o infinita)

Y se define (A_i)_{i\in I} \in p(\Omega)

Ejemplo de suceso aleatorio

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio, si tras lanzar la moneda 3 veces hemos contado:

• 2 caras, entonces el punto muestral 1 es p(3_1)=2
• 0 caras, entonces el punto muestral 2 es p(3_2)=0
• 3 caras, entonces el punto muestral 3 es p(3_3)=2
• 2 caras, entonces el punto muestral 4 es p(3_4)=2
• 1 cara, entonces el punto muestral 5 es p(3_5)=1

El suceso aleatorio es A=\{2,0,2,2,1\}

Ocurrencia de un suceso

Diremos que ha ocurrido un suceso A si en una realización particular del experimento aleatorio se obtiene un punto muestral de P((A_i)_{i\in I})=\{A|A\subseteq\Omega\}

Ejemplo de ocurrencia de un suceso

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio

Vamos a repetir el experimento 5 veces para obtener un suceso aleatorio, si tras lanzar la moneda 3 veces hemos obtenido :

• 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_1)=2
• 0 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_2)=0
• 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_3)=2
• 2 caras, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_4)=2
• 1 cara, entonces la ocurrencia del suceso es P(3_5)=1

Suceso seguro

Es aquel que ocurre siempre

Se representa con \Omega

Siendo A un conjunto

Se denota
p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}=\Omega
\Omega=\{x, x\in\Omega\}\not =\{\{x\},x\in\Omega\}\subseteq p(\Omega)

Ejemplo de suceso seguro

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

Obtener un número de caras (incluyendo el 0), es un suceso seguro porque siempre podremos contar el número de caras (aunque no salga ninguna, porque hemos incluido el 0)

El suceso seguro entonces es
\omega=\{«obtener un número de caras»\}
p(\omega)=\Omega

Suceso imposible

Es aquel que no ocurre nunca

Se representa con \emptyset

Siendo A un conjunto

Se denota
p(\omega)=\{A|A\subseteq\Omega\}=\emptyset
p(\emptyset)=1

Ejemplo de suceso imposible

En el experimento de lanzar una moneda 3 veces y contar el número de caras

Obtener el color rojo, es un suceso imposible porque en el experimento estamos teniendo en cuenta el número de caras obtenidas, no estamos teniendo en cuenta el color del dado

El suceso seguro entonces es
\omega=\{«obtener el color rojo»\}
p(\omega)=\emptyset

Suceso contrario

Llamaremos suceso contrario de A, al suceso que ocurre cuando no ocurre A

Se representa con A^c

Se denota A^c=\Omega\backslash A

Ejemplo de suceso contrario

En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras

Obtener cruz en vez de cara, es el suceso contrario porque estamos teniendo en cuenta el número de caras, no de cruces

Si A=\{«número de caras obtenidas»\} entonces el suceso contrario es A^c=\{«número de cruces obtenidas»\}

Unión de sucesos

Llamaremos suceso unión de A y B, al suceso que ocurre o A o B o los dos

Se representa con A\cup B

Siendo A un conjunto

Se denota \underset{i\in I}{\bigcup} A_i\in p(\Omega)

Ejemplo de unión de sucesos

En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces

Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\cup B=\{«número de caras o cruces obtenidas»\}=\{2,3,4,6\}

Intersección de sucesos

Llamaremos intersección de sucesos de A y B, al suceso que ocurre cuando ocurre A y B

Se representa con A\cap B

Siendo A un conjunto

Se denota \underset{i\in I}{\bigcap} A_i\in p(\Omega)

Ejemplo de intersección de sucesos

En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces

Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\cap B=\{«número par de caras y cruces obtenidas»\}=\{4\}

Diferencia de sucesos

Llamaremos diferencia de sucesos de A y B, al suceso que ocurre cuando ocurre A o B pero no los dos a la vez

Se representa con A \backslash B = A - B

Se denota A - B = A - A \cap B = A \cap B^c

Ejemplo de diferencia de sucesos

En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces

Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A-B=\{«número impar de caras o cruces obtenidas pero no las dos a la vez»\}=A - A\cap B=\{3,4\}-\{4\}=\{3\}

Diferencia simétrica de sucesos

Llamaremos diferencia simétrica de sucesos de A y B, al suceso de todos los sucesos que ocurre cuando ocurre A\cup B pero no A\cap B

Se representa con A \triangle B

Se denota A \triangle B = (A \cup B) - (A \cap B)

Ejemplo de diferencia simétrica de sucesos

En el experimento de lanzar una moneda y contar el número de caras o cruces

Siendo
A=\{«número de caras obtenidas»\}=\{3,4\}
B=\{«número de cruces obtenidas»\}=\{2,4,6\}
A\triangle B=\{«número par de caras o cruces obtenidas pero no número par de caras y cruces»\}=(A \cup B) - (A \cap B)=\{2,3,4,6\}-\{4\}=\{2,3,6\}

Leyes de Morgan

Leyes propuestas por Augustus De Morgan (1806-1871), un matemático y lógico británico nacido en la India, que enuncian los siguientes principios fundamentales del álgebra de la lógica:

• La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones

• La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones

Dentro de la estadística se pueden utilizar las siguientes definiciones de las leyes de Morgan:

Siendo A, B y C conjuntos

1. \left(A\cup B\right)^c = A^c\cap B^c
   cuya forma generalizada es
   \left(\underset{i\in I}{\bigcup} A_i\right)^c = \underset{i\in I}{\bigcap} \left(A_i\right)^c
2. \left(A\cap B\right)^c = A^c\cup B^c
   cuya forma generalizada es
   \left(\underset{i\in I}{\bigcap} A_i\right)^c = \underset{i\in I}{\bigcup} \left(A_i\right)^c
3. A\cap\left(B\cup C\right) = \left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)
   cuya forma generalizada es
   \underset{j\in I}{\bigcap}\left(\underset{i\in I}{\bigcup} A_i\right) = \underset{i j\in I}{\bigcup}\left(\underset{j\in I}{\bigcap} A_{i j, j}\right)
4. A\cup\left(B\cap C\right) = \left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)
   cuya forma generalizada es
   \underset{j\in I}{\bigcup}\left(\underset{i\in I}{\bigcap} A_i\right) = \underset{i j\in I}{\bigcap}\left(\underset{j\in I}{\bigcup} A_{i j, j}\right)

Demostración 1

Queremos demostrar que \left(A\cup B\right)^c = A^c\cap B^c

\omega\in\left(A\cup B\right)^c \Rightarrow \omega \not \in A\cup B \Rightarrow \begin{cases} \omega \not \in A \\ \omega \not \in B \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \omega \in A^c \\ \omega \in B^c \end{cases} \Rightarrow \omega \in A^c\cap B^c

Con lo que llegamos a lo que queríamos, quedando probado

Demostración 2

Queremos demostrar que \left(A\cap B\right)^c = A^c\cup B^c

\omega\in\left(A\cap B\right)^c \Rightarrow \omega \not \in A\cap B \Rightarrow \begin{cases} \omega \not \in A \\ \omega \not \in B \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \omega \in A^c \\ \omega \in B^c \end{cases} \Rightarrow \omega \in A^c\cup B^c

Con lo que llegamos a lo que queríamos, quedando probado

Suceso incompatible

Diremos que A y B son sucesos incompatibles si no pueden ocurrir nunca a la vez

Se denota
A \cap B = \emptyset
A \cap A^c = \emptyset

Una familia \left(A_i\right)_{i\in I} de conjuntos 2 a 2 disjuntos (o mutuamente excluyentes) si A_i\cup A_j = \emptyset cuando i\not = j

Si una familia \left(A_i\right)_{i\in I} es mutuamente excluyente, la denotaremos \underset{i\in I}{\sqcup}A_i := \underset{i\in I}{\cup}A_i

Diremos que una familia \left(A_i\right)_{i\in I} es exhaustiva si A_i\cap A_j = \Omega

Conjunto numerable

Un conjunto se dice numerable si es biyectivo con \mathbb{N}

Conjunto contable

Un conjunto se dice contable si es numerable o finito