Probabilidad, Estadística

Probabilidad

Probabilidad

Llamaremos probabilidad de un \Omega espacio muestral a cualquier aplicación que cumpla:

\begin{cases} \Omega \rightarrow R \\ \omega \rightarrow p(\omega) \in \left[0, 1\right] \end{cases}


donde el valor entre 0 y 1 trata de cuantificar la posibilidad que tiene ese suceso de ocurrir. Se suele medir también en tanto por ciento, por tanto una probabilidad de 1 equivale a 100% y una de 0 a 0%

  1. P(A) \ge 0, \forall A \text{ suceso}
  2. P( \Omega) = 1
  3. P(A \cup B) = P(A) + P(B)\text{ si }A \cap B = \emptyset

Propiedades

  1. P(A) \le 1
  2. P(\emptyset) = 0
  3. P(A^c) = 1 - P(A)
  4. Si B \subset A \Rightarrow P(A - B) = P(A) - P(B)
  5. P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)
  6. P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  7. P(A_1 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + \cdots + P(A_n); \text{ Si } A_i \cap A_j = \emptyset; \forall \not= j
  8. P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C)- P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)
  9. P(A \cup B \cup C \cup D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(A \cap D) - P(B \cap D) - P(C \cap D) + P(A \cap B \cap C \cap D) + P(B \cap C \cap D) - P(A \cap B \cap C \cap D)

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo

P(A) \cup P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyentes

P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) si A y B son no excluyentes

Siendo:

\scriptsize\begin{cases}\text{P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A}\\ \text{P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B}\\P(A \cap B)\text{ = probabilidad de ocurrencia simult}\acute{a}\text{nea de los eventos A y B}\end{cases}

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales

P(A \cap B) = P(A\cdot B) = P(A) \cdot P(B) si A y B son independientes

P(A \cap B) = P (A \cdot B) = P(A)\cdot P(B|A) si A y B son dependientes

Siendo P(B|A) la probabilidad de que ocurra B habiéndose dado o verificado el evento A

Regla de Laplace

Sea \Omega espacio muestral donde los puntos muestrales tienen la misma posibilidad de ocurrencia, A suceso, entonces:

P(A) = \frac{n^{\underline{0}}\text{ de casos favorables}}{n^{\underline{0}}\text{ de casos posibles}}

Probabilidad frecuentista (Von Mises)

Sea \Omega espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio, sea A suceso. La probabilidad frecuentista de que ocurra A es la frecuencia relativa del nº de veces que ocurre cuando repetimos el fenómeno aleatorio \infty veces

\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n^{\underline{0}}\text{ de veces que ocurre}}{n}