Inclusión de los números naturales en los enteros

Vamos a ver las operaciones de los enteros

\mathbb{N}_0 se incluye en \mathbb{Z} asociando a cada a\in\mathbb{N}_0 la clase de equivalencia de (a, 0)

El número natural 0 en \mathbb{Z} es (0, 0), que es la clase de equivalencia dada por \{(a, a) | a \in\mathbb{N}_0\}, que es el elemento de la suma en \mathbb{Z}

El natural 1 en \mathbb{Z} es (1, 0), y su clase de equivalencia, que es el elemento neutro del producto en \mathbb{Z}

A diferencia de en \mathbb{N}_0, en \mathbb{Z}, dado un número, siempre se puede encontrar otro que sumado al primero dé cero (el elemento neutro de la suma). Si tenemos (a, b), basta tomar (b, a) y se cumple:

(a, b)+(b, a)=(a + b, a + b)\sim (0, 0)

Este número (b, a), que es el opuesto de (a, b), y lo denotamos como -(a, b). Lo que nos permite definir la resta:

(a, b) - (c, d)=(a + b) + (-(c, d))=(a, b)+(d, c)=(a + d, b + c)

O de forma equivalente:

(a, b) - (c, d)=(r + s) \Longleftrightarrow (a, b)=(r, s) + (c, d)

Operación suma

Dado que (a, b) es la manera que tenemos en \mathbb{Z} de indicar la resta a-b y del mismo modo, (c, d) representa c-d, no hay más que pensar en (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) para dar una definición adecuada de la suma:

(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)

Operación producto

De forma similar, para definir el producto tenemos que (a-b)\cdot(c-d)=(a\cdot c + b\cdot d)-(a\cdot d+b\cdot c), con lo que la definición adecuada para el producto:

(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c+b\cdot d, a\cdot d+ b\cdot c)

Relación de equivalencia

Para que las definiciones en \mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0 dadas anteriormente sean válidas en \mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0/\sim, tenemos que probar que son compatibles con la relación de equivalencia, es decir que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2, b_2)\text{ y }(c_1,d_1)\sim(c_2, d_2) se cumple que:

\begin{cases} (a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2) \\ (a_1,a_1)\cdot(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)\cdot(c_2,d_2) \end{cases}

Relación de orden

También hay que definir la relación de orden en \mathbb{Z}. Para definir cuándo (a,b)\leq(c,d), pensemos una vez más en (a,b) como en \displaystyle a-b y en (c,d) como c-d. Entonces basta fijarse en que a-b\leq c-d equivale a a+d\leq b+c para darse cuenta de que la definición que buscamos tiene que ser (a,b)\leq (c,d)\Leftrightarrow a+d\leq b+c

Como en la suma y el producto, hay que comprobar la compatibilidad de esa definición con la relación de equivalencia, es decir, que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2,b_2)\text{ y }(c_1,d_1)\sim(c_2,d_2), se cumple que:

(a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2)