Un modelo de los números naturales

Vamos a ver un modelo de los naturales

Una teoría axiomática es consistente cuando no aparece algún tipo de contradicción que hace que los axiomas no tengan sentido

Los axiomas de Peano introducen los números naturales a partir de la teoría de conjuntos. Tras exponer los axiomas, se han dado algunas definiciones adicionales (la suma, el producto y el principio de buena ordenación). Pero ¿son consistentes los axiomas de Peano? Es decir ¿existe un modelo basado en el modelo de conjuntos que cumpla los axiomas de Peano? Vamos a ver cómo construir un modelo de los números naturales a partir de la teoría de conjuntos

Nota si disponemos de un modelo, estaríamos reduciendo la consistencia de los números a la de la teoría de los conjuntos ¿Y la teoría de conjuntos es consistente? En algún momento hay que dejar de descender, y hay que asumir algo como cierto sin posibilidad de que sea demostrado. Kurt Gödel probó en 1930 sus famosos teoremas de incompletitud, que de forma simplificada afirman lo siguiente:

• Primer teorema de incompletitud
  En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema
• Segundo teorema de incompletitud
  Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo

Estos resultados fueron muy negativos para la aproximación filosófica a las matemáticas, propuesta por David Hilbert, conocida como programa de formalización de Hilbert. Que había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se tenía que probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica

Con su primer teorema, Gödel demostró que la aritmética es incompleta, y de ese modo será imposible que pueda ser usada para demostrar la consistencia de cualquier sistema de axiomas. El paraíso ideado por Hilbert no existía, era una utopía

Dejemos la lógica y volvamos a los números naturales. Un modelo de los axiomas de Peano sería una tripleta (\mathbb{N},0,s) con \mathbb{N} un conjunto, 0\in \mathbb{N}, s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} una aplicación que satisficiera dichos axiomas. No es difícil ver que si tenemos dos modelos, deben ser el mismo, ya que dados dos modelos (\mathbb{N}_A, 0_A, s_A) y (\mathbb{N}_B, 0_B, s_B) de los axiomas de Peano, la aplicación f|\mathbb{N}_A\rightarrow \mathbb{N}_B definida mediante:

\begin{cases}f(0_A)=0_B \\ f(s_A(n))=s_B(n) \end{cases}

es una biyección. Ya que tenemos que, sólo puede haber un modelo de los axiomas de Peano ¡Pero aún no hemos definido ninguno!

Los lógicos Gottlob Fregge y Bertrand Russell construyeron modelos de los axiomas de Peano basándose en la idea intuitiva de que un número natural es el cardinal de un conjunto. Es decir, cada número natural es la «esencia» que comparten los conjuntos biyectivos (y finitos) cuyo número cardinal es ese número cardinal. Entonces un número natural se definiría como la case de equivalencia de esos conjuntos; además el cero se corresponde con el conjunto vacío (en realidad, su clase de equivalencia) y s aplicado a un conjunto consiste en añadirle un elemento que no este en el conjunto (para cada conjunto de la clase de equivalencia). Sin embargo, esta idea tiene dificultades lógicas serias, pues, según las leyes de la axiomática de Zermelo-Fraenkel en que se basa la matemática actual, dicho de manera informal: «el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto», las clases de equivalencia de conjuntos biyectivos tampoco forman un conjunto

El modelo que se usa habitualmente es el del matemático húngaro nacionalizado estadounidense, János von Neumann, quien no sólo hizo importantes contribuciones en multitud de campos de la matemática, sino en la informática con la arquitectura de von Neumann, usada actualmente en los ordenadores y en la fabricación de la primera bomba atómica

El modelo ideado por von Neumann comienza con la definición de 0 como el conjunto vacío (\emptyset), y además se define un operador s actuando sobre los conjuntos mediante s(A)=A\cup(A)

Se define el conjunto de los números naturales \mathbb{N}_0, como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo la acción de s (es decir, de todos los conjuntos C tales que s(C)\subset C) que contienen al conjunto vacío. Cada número natural (entendido como un conjunto), es el conjunto de los números naturales menores que él:

\scriptsize\begin{cases}0=\emptyset \\ 1=s(0)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}=\{0\} \\ 2=s(1)=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{0,1\} \\ 3=s(2)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{0,1,2\} \\ \cdots \\ n=s(n-1)=\cdots=\{1,2,3,\cdots,n\} \end{cases}

El conjunto \mathbb{N}_0, junto con 0 y la función «siguiente» s|\mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0, satisface los axiomas de Peano