Desigualdades

A continuación se van a enumerar algunas desigualdades que son útiles o que todavía no han sido mencionadas

Hasta ahora hemos mostrado algunas propiedades que se verifican en los diversos conjuntos de números

Teniendo en cuenta que cada conjunto numérico que hemos definido con anterioridad contiene al anterior y el conjunto de los reales los contiene a todos, todas ellas (excepto el principio de la buena ordenación de los números naturales) se verifican para los números reales

Por ejemplo, usando algunas de las desigualdades mencionadas con anterioridad, es posible probar que:

• 0\leq a \leq b \Rightarrow a^2 \leq b^2
• 0 < a \leq b \Rightarrow \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}

Valor absoluto de un número real

Se define para un número real del mismo modo que ya se hizo para los enteros, pero además cumple algunas desigualdades que merecen ser señaladas

• -\|a\| \leq a \leq \|a\|
• \|a\| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b
• \|a\| \geq b \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq b \\ a \leq -b \end{cases}
• \|a\cdot b\| = \|a\|\cdot \|b\|
• a^2 \leq b^2 = \|a\| \leq \|b\|

Hay que tener en cuenta que en la igualdad \sqrt{a^2}=\|a\|, solamente será cierta \sqrt{a^2}=a si a \geq 0

Distancia

Dados a, b \in \mathbb{R}, se llama distancia entre a y b al número real no negativo \|a-b\|

Esta notación es fundamental para interpretar desigualdades de la forma \|x-a\| \leq b, como la distancia de x a a es menor o igual que b

Desigualdad triangular

Ya la vimos anteriormente, pero como es una desigualdad importante la recordamos para los números reales

Dados a, b \in \mathbb{R} se cumple que \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|

Demostración: desigualdad triangular

Tomamos \begin{cases} -\|a\|\leq a \leq \|a\| \\ -\|b\|\leq b \leq \|b\| \end{cases}

Sumamos ambas desigualdades y obtenemos -(\|a\|+\|b\|) \leq a+b \leq \|a\|+\|b\|

Y por tanto \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|

Desigualdad triangular inversa

Dados a, b \in \mathbb{R} se cumple que \|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

Demostración: desigualdad triangular inversa

La desigualdad triangular inversa es equivalente a probar que -(a-b) \leq \|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

Por la desigualdad triangular se tiene que

\|a\|=\|a-b+b\| \leq \|a-b\|+\|b\|
\|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

con lo que el lado derecho de la desigualdad queda probado

Por la desigualdad triangular se tiene que

\|b\|=\|b-a+a\| \leq \|b-a\|+\|a\|
\|b\|-\|a\| \leq \|b-a\|
-(a-b) \leq \|a\|-\|b\|

con lo que el lado izquierdo de la desigualdad queda probado

Desigualdad entre la media aritmética y geométrica

Una de las desigualdades más útiles y populares es la desigualdad entre la media aritmética y geométrica (denominada en ocasiones AM – GM). La cual se define de la siguiente manera:

Dados a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathbb{R^+}

Se define la media aritmética como M_{n, 1}=\frac{a_1, a_2, \cdots, a_n}{n}

Se define la media geomética como M_{n, 0}=\sqrt[n]{a_1, a_2, \cdots, a_n}

Y la desigualdad se define como M_{n , 0} \leq M_{n, 1}

Demostración: desigualdad entre la media aritmética y geométrica

Esta demostración se publicó en la revista Mathematical Intelligencer en 2007, vol. 29, número 4 por M. D. Hirschhorn. Es sencilla de entender y se basa en una inducción sobre n

Si n=1 entonces M_{1, 0}=M_{1, 1}

Supongamos que se cumple para n

Vamos a utilizar la siguiente observación, aparentemente sin relación, para obtener el objetivo perseguido:

x^{n+1}-(n+1)\cdot x + n \geq 0\text{, si }x > 0

La demostración de este hecho es evidente usando la identidad

x^{n+1}-(n+1)\cdot x +n=(x-1)^2\cdot(x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots +(n-1)\cdot x+ n)

Se puede probar también por inducción. Si n=1 se deduce de la identidad x^2-2\cdot x+1=(x-1)^2

Supongamos que se cumple para n

(x-1)^2\cdot (x^n+2\cdot x^{n-1}+\cdots + n\cdot x + n +1)= =(x-1)^2\cdot [x\cdot (x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots + (n-1)\cdot x + n) + n +1]= =x\cdot [(x-1)^2\cdot (x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots + (n-1)\cdot x + n)] + (x-1)^2\cdot (n +1)= =x\cdot (x^{n+1}-(n+1)\cdot x + n) + (x^2-2\cdot x + 1)\cdot (n +1)=

=x^{n+2}-(n+2)\cdot x + n+1

Ahora tomamos \begin{cases}a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}}{n+1} \\ b=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\end{cases}, usando en la identidad elegida x=\frac{a}{b} tendremos que \begin{cases}(\frac{a}{b})^{n+1}-(n+1)\cdot\frac{a}{b}+n\geq 0 \\ a^{n+1}\geq ((n+1)\cdot a - n \cdot b)\cdot b^n \end{cases}

Que puede reescribirse como

\begin{cases}(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}}{n+1})^{n+1}\geq a_{n+1}\cdot (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n})^n \\ (M_{n+1, 1})^{n+1} \geq a_{n+1}\cdot (M_{n,1})^n \end{cases}

puesto que M_{n,0}\geq M_{n,1}

se tiene que (M_{n+1,1})^{n+1})\leq a_{n+1}\cdot (M_{n,0})^n=a_{n+1}\cdot a_n \cdots a_1

que es equivalente a M_{n+1, 0} \leq M_{n+1,1}

Con lo que se finaliza la demostración al cumplirse el argumento de inducción

Notas

Resulta interesante observar que la igualdad M_{n,0}=M_{n,1} se cumple sólo si y sólo si a_1=a_2=\cdots=a_n. Este hecho se deduce teniendo en cuenta que la igualdad x^{n+1}-(n+1)\cdot x+n=0, para x > 0, solo se cumple si x=1 y se ha elegido un argumento de inducción adecuado

La media aritmética y la media geométrica son solo dos casos particulares de una clase de medias mucho más amplia. \forall s \in \mathbb{R}, se define la media de orden s de los valores reales positivos a_1,a_2,\cdots,a_n\text{ como }M_{n,s}=(\frac{a_{n}^{s}+\cdots+a_{1}^{s}}{n})^\frac{1}{s}\text{, }s\not=0
M_{n,0} como ya se ha hecho. También se pueden considerar los casos límite \begin{cases}M_{n, -\infty}=min\{a_1,a_2\cdots,a_n\} \\ M_{n, +\infty}=max\{a_1,a_2\cdots,a_n\} \end{cases}

La desigualdad entre la media aritmética y la geométrica es, a su vez, un caso particular de una cadena más general de desigualdades: M_{n, s} \leq M_{n, r}\text{, si }s < r

La media M_{n, -1} se denomina media armónica y se puede deducir de manera elemental de la desigualdad M_{n, 0}\leq M_{n,1} que M_{n, -1}\leq M_{n,0}