Números irracionales

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados, como una fracción \frac{m}{n}, donde m, n \in\mathbb{Z} y n\not = 0

Esta propiedad la cumplen los números reales que no son racionales

Un decimal infinito (es decir, con infinitas cifras) aperiódico, como \sqrt{7} = 2,645751311064591 no puede ser representado como un número racional

A tales números se los denomina números irracionales

Esta denominación significa la imposibilidad de representar dicho número como razón de dos números enteros

Se denotan como \mathbb{I}

Números irracionales más conocidos

• Número pi:
  razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, \pi\approx 3,14159\cdots
• Número de Euler:
  e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\approx 2,7182\cdots
• Número áureo:
  \Phi={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,6180\cdots

Demostración: Raiz de 2 es irracional

El valor que verifica d^2=2 es denotado por \sqrt{2} y es un número real

Consideremos el conjunto: S=\{x\in\mathbb{R}|x\geq 0, x^2 \leq 2\}

El conjunto S es no vacío (1 \in S) y está acotado superiormente, ya que x\in S, x^2\leq 2 < 4 = 2^2, luego x < 2

Por ser un conjunto no vacío acotado superiormente tendremos por el axioma de completitud, que S posee supremo, dicho supremo lo denotaremos por v. No puede ocurrir que v^2 > 2 ni v^2 < 2 y, por tanto, se tiene que v^2 = 2; es decir, será el valor que hemos denotado como \sqrt{2}

Supongamos que v^2 > 2, entonces tomando h=min\{v,\frac{(v^2 - 2)}{2\cdot v}\} se tendría h > 0, v-h \geq 0 y (v-h)^2=v^2+2\cdot h \cdot v + h^2 \leq v^2 +2\cdot h \cdot v +h \cdot v = v^2 + 3 \cdot h \cdot v \leq v^2 + (2-v^2)=2, o sea, v+h\in S

Pero esto no es posible, porque v+h > v y en cambio \forall x \in S se tiene que x \leq v. Por lo tanto, \sqrt{2} es un número irracional

Lema de Gauss

El lema de Gauss fue publicado en el artículo 42 de las Disquisitiones Arithmeticae (1801) y dice:

Cada raíz real de un polinomio mónico con coeficientes enteros es entera o irracional

Demostración del lema de Gauss

Sea r una raíz real del polinomio mónico: P(x)=x^n+c_{n-1}\cdot x^{n-1}+\cdots + c_0 donde n es un entero positivo y c_0,\cdots,c_{n-1} son enteros y supongamos que r es racional pero no entero

Entonces existe un único entero q tal que q < r < q+1. Puesto que r es racional, también lo serán r^2, \cdots, r^{n-1}

Por tanto, el conjunto: M=\{m>0| m, m\cdot r, m\cdot r^2, \cdots, m\cdot r^{n-1}\text{ son enteros}\} posee algún elemento y es no vacío

Teniendo en cuenta que r es raíz de P(x), se cumplirá la identidad: r^n=-(c_{n-1}\cdot r^{n-1}+\cdots +c_0) y además \forall m \in M, m(c_{n-1}\cdot r^{n-1}+\cdots +c_0) es un entero, y por tanto, m\cdot r^n es también un entero

Vamos a buscar una contradicción con el principio de la buena ordenación de los números naturales, probando así que el conjunto M no posee elemento mínimo; es decir: \forall m \in M, \exists m'\in M \Rightarrow 0 < m' < m

Consideramos m\in M y tomamos m'=(r-q)\cdot m. Entonces tenemos que para cada i=0,1,2,\cdots, n-1 tenemos que m'\cdot r^i=m\cdot r^{i+1}-q\cdot m^i, luego es un entero y se cumple que m'\in M y 0 < m' < m porque 0 < r-q < 1

Entonces M no puede tener un elemento mínimo y la raíz r debe ser entera o irracional