Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

James A. Garfield

Garfield fue el vigésimo presidente de los Estados Unidos, era un matemático aficionado y publicó esta demostración en la revista The New England Journal of Education (vol. 3, pág 161) en 1876, cinco años antes de su llegada a la Casa Blanca y de su muerte, ya que falleció en septiembre de 1881, el año de su nombramiento, como consecuencia de las heridas sufridas en un atentado en julio de ese año

Demostración: Teorema de Pitágoras

Partiendo del siguiente esquema:

la demostración se basa en la observación de que:

\text{area}(T_1) + \text{area}(T_2) + \text{area}(T_3) = \text{area}(T_1 \cup T_2 \cup T_3)

donde T_1 es el triángulo de la izquierda, T_2 el triángulo de la derecha y T_3 el triángulo central

con lo que tenemos que:

\text{area}(T_1)=\text{area}(T_2)=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b
\text{area}(T_3)=\frac{1}{2}\cdot c^2

como T_1 \cup T_2 \cup T_3 es un trapecio de bases a y b y altura a + b se tiene que:

\text{area}(T_1 \cup T_2 \cup T_3)=\frac{1}{2} \cdot (a + b)^2

por tanto si sustituimos en la fórmula inicial tenemos:

2\cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a + b)^2
2\cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + a \cdot b + a \cdot b + b^2)
2\cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2)
2\cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + \frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot b
\frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot a \cdot b - 2\cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\frac{1}{2} \cdot c^2 = \frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2)
2 \cdot \frac{1}{2} \cdot c^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2)
c^2 =a^2 + b^2

con lo que la demostración queda concluida