Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana:

Sea x \in \mathbb{Q}, x > 0. Entonces para cualquier y \in \mathbb{Q} existe n \in \mathbb{N}_0 tal que n\cdot x > y

Demostración: propiedad arquimediana

Si y \leq 0 el resultado es trivial, pues basta tomar n = 1. Asumimos que y > 0. Queremos probar que existe n \in \mathbb{N}_0 que cumple n > \frac{y}{x}

El cociente de números racionales \frac{y}{x} será un número racional \frac{a}{b} con a y b enteros positivos. Así pues, n > \frac{y}{x}=\frac{a}{b} equivale a decir n \cdot b > a Y eso se consigue tomando n = a + 1 ya que:

(a + 1)\cdot b = a\cdot b + b \geq a + b \geq a + 1 > a

que es justo lo que pretendíamos