Inclusión de los números enteros en los racionales

Vamos a ver las operaciones de los racionales

\mathbb{Z} se incluye en \mathbb{Q} asociando a cada a\in\mathbb{Z} la clase de equivalencia de (a, 1)

Siendo la suma y el producto en \mathbb{Q} las extensiones de las de \mathbb{Z}

Además, dado que (-a, -b)\sim(a, b), y como por definición b\not= 0, siempre que tomemos (a, b) en \mathbb{Q}, podemos asumir que b > 0 (es decir, que los denominadores de las fracciones pueden imponerse como positivos)

Operación suma

Se define con las reglas de las fracciones, cuando tenga sentido:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

y para lograrlo la definición formal ha de ser:

(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b\cdot c, b\cdot d)

Operación producto

Se define con las reglas de las fracciones, cuando tenga sentido:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b \cdot d}

y para lograrlo la definición formal ha de ser:

(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b\cdot d)

Relación de equivalencia

Para que las definiciones en \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\left\{0\right\}) dadas anteriormente sean válidas en \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\})/\sim, tenemos que probar que son compatibles con la relación de equivalencia, es decir que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2, b_2) y (c_1,d_1)\sim(c_2, d_2) se cumple que:

\begin{cases} (a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2) \\ (a_1,a_1)\cdot(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)\cdot(c_2,d_2) \end{cases}

Relación de orden

También hay que definir la relación de orden en \mathbb{Q}. Para ello tenemos que expresar la aún inexistente desigualdad \frac{a}{b}\leq \frac{c}{d} en términos de desigualdades con enteros, pero como podemos suponer que b > 0 y d > 0, es equivalente a a \cdot d \leq c \cdot b (esta desigualdad es obtenida de la que queríamos obtener multiplicando b \cdot d y como hemos supuesto que los denominadores son positivos, hace que la desigualdad no cambie de sentido). Entonces definimos:

(a, b) \leq (c, d) \Longleftrightarrow a \cdot d \leq c\cdot b \quad (b, d > 0)

Se puede demostrar que esta relación es de orden, que es compatible con la relación de equivalencia (la hemos usado al definir \leq solo para denominadores positivos) y extiende la de \mathbb{Z}. Como en \mathbb{Z}, la relación de orden en \mathbb{Q} es total, y también tenemos números positivos y negativos

Nota Una vez que ya hemos hecho una buena definición de los números racionales, podemos desprendernos de la notación auxiliar (a, b) para emplear a partir de ahora, la habitual \frac{a}{b} ó a / b, donde a se llama numerador y b denominador (como se ha dicho anteriormente, se puede suponer que b es siempre positivo). Además, en vez de usar \frac{a}{1}, podemos usar simplemente a. Y en vez de usar la relación de equivalencia como (a, b)\sim (c, d) usaremos \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Nota En cada clase de fracciones equivalentes de \mathbb{Q}, existe una fracción que se suele tomar como representante. Es la denominada irreducible, en la que el máximo común divisor del numerador y el denominador vale 1. Aunque es elemental, tendríamos que haber desarrollado algo más la aritmético en \mathbb{N}_0 para poderlo introducirlo aqui

Operación división

Las propiedades de la suma y el producto en \mathbb{Z} (asociatividad, conmutatividad, elementos neutros, distributividad, etc) se extienden a \mathbb{Q}, además, el orden es estable con las operaciones en el mismo sentido que en \mathbb{Z}. Pero tenemos una novedad con respecto a \mathbb{Z}, podemos dividir

Para cualquier \frac{a}{b}\in \mathbb{Q} no nulo, podemos encontrar un inverso respecto al producto. Dado que:

\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b \cdot a}=\frac{1}{1}=1

La notación para el inverso de \frac{a}{b} es (\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}

Gracias al inverso podemos dividir por un racional no nulo. Dividir \frac{a}{b} entre \frac{c}{d} consiste en encontrar un número racional tal que \frac{a}{b} multiplicado por ese racional de \frac{c}{d}; esta operación es inmediata, basta multiplicar \frac{a}{b} por el inverso de \frac{c}{d}:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{c}{d})^{-1}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

La existencia de inverso en el producto (y por tanto de división) hace que la estructura algebraica de \mathbb{Z} (que es un anillo) se quede corta, y que \mathbb{Q} con la suma y el producto pasa a ser un cuerpo. Además, la estructura de orden es estable con las operaciones, es decir, dados x, y, t \in \mathbb{Q} se cumple que:

\begin{cases}x\leq y \Rightarrow x+t \leq y + t \\ x\leq y, t \geq 0 \Rightarrow t\cdot x \leq t\cdot y \end{cases}