El método de inducción
A partir del concepto de inducción aparece la idea de inducción matemática, lo que permite hacer demostraciones por el método de inducción
Se pueden expresar los números naturales como una terna (\mathbb{N}_0,0,s) con \mathbb{N}_0 un conjunto, 0\in \mathbb{N}_0, s| \mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0\backslash\{0\} una aplicación inyectiva, y de manera que se cumpla el quinto de los axiomas anteriores, el cuál se denomina axioma de inducción o principio de inducción
Para ello, se toma S como el conjunto de los números naturales que cumplen una determinada propiedad que quiere ser demostrada, se comprueba que cero cumple la propiedad (es decir 0\in S), y que si un número n la cumple, el siguiente también la cumplirá (es decir n\in S\Rightarrow s(n)\in S); y como consecuencia del axioma de inducción, todos los números naturales cumplen la propiedad (S=\mathbb{N}_0)
En la práctica, el principio de inducción se suele aplicar en términos de propiedades más que en términos de conjuntos. Para llevarlo a cabo realizaremos los siguientes pasos:
Supongamos que para cada número natural n\geq n_0 se tiene una cierta propiedad P_n que puede ser cierta o no. Suponemos que:
- P_n es cierta
- Si para algún n\geq n_0 la propiedad P_n es cierta, entonces P_{n+1} también lo es
Entonces P_n es cierta para todo n\geq n_0
La demostración habrá terminado, porque habremos podido probar la propiedad para todos los naturales