Los axiomas de Peano

Los axiomas de Peano (también conocidos como postulados de Peano) fueron una propuesta del matemático italiano Geuseppe Peano en 1889, con el fin de formalizar de forma axiomática los números naturales, basándose en al teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor

Axiomas que todavía siguen usándose en al actualidad

Se definen los números naturales como un conjunto (denominado \mathbb{N}_0), un elemento (que asume el papel de cero y que denotaremos como 0) y un elemento «siguiente» (o «sucesor») que es una aplicación denotada mediante S de manera que cumpla:

1. El cero es número natural
2. El siguiente número natural es también un número natural
3. No existe un número natural cuyo siguiente sea cero
4. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los dos números son iguales
5. Si S es un conjunto de números naturales tal que cero es de S y siempre que un número natural es de S también su siguiente está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales

Utilizando un lenguaje más formal o algebraico, estos cinco axiomas podemos enunciarlos así:

1. 0\in \mathbb{N}_0
2. \exists s| \mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 y además cumple los axiomas siguientes
3. \not\exists n\in \mathbb{N}_0 |s(n)=0
4. s(n)=s(m)\Rightarrow n=m (s es inyectiva)
5. S\in \mathbb{N}, 0\in S |\forall n\in S=s(n)\in S\Rightarrow S=\mathbb{N}_0