Definición

Los números complejos dan solución a la ecuación x^2+1=0, cómo x^2=-1 tiene como solución x=\pm{\sqrt{-1}}, que no tiene solución real

Usaremos como solución x=\pm{i}. Dónde i es la unidad imaginaria del número complejo

Llamaremos número complejo a la expresión z=a+b\cdot{i} (forma binómica) dónde a, b\in{\mathbb{R}}. Siendo a la parte real del número y b su parte imaginaria

Son un par ordenado de los números reales (a, b) \in{\mathbb{R} \times \mathbb{R}}

En el caso de que b=0 entonces podemos considerar el número como real, ya que los números reales son un subconjunto de los complejos

El conjunto de los números complejos es denotado como \mathbb{C}

Se definen dos tipos de operaciones básicas: la suma y la multiplicación

Gráfica de un complejo

Vamos a dibujar la gráfica de un complejo

Dado un número complejo z=a+b\cdot{i}=(a, b) \in \mathbb{R} x \mathbb{R} es un par ordenado de números reales, se representa mediante el punto (a, b) en el plano XY, llamado plano complejo

El punto (a, b) recibe el nombre de afijo del número complejo z

Ejemplo de gráfica de un complejo

Dado el siguiente complejo que queremos representar:

z=(-3)+4\cdot{i}

Obtenemos la siguiente gráfica:

Argumento

Argumento:

El valor del ángulo \alpha recibe el nombre de argumento

Para un número complejo dado, el argumento admite un conjunto infinito de valores, que se diferencian entre sí en 2\cdot{k}\cdot{\pi}; k\in{\mathbb{Z}}

Se llama valor principal del argumento a aquél que cumple 0\leq\alpha\leq{2}\cdot{\pi}

Puede calcularse mediante:

\alpha=Arg(z)=atan2(b, a)=\begin{cases} \arctan(\frac{b}{a}) & \text{si }a > 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) + \pi & \text{si }b \geq 0, a < 0 \\ \arctan(\frac{b}{a}) - \pi & \text{si }b < 0, a < 0 \\ \frac{\pi}{2} & \text{si }b > 0, a = 0 \\ \frac{-\pi}{2} & \text{si }b < 0, a = 0 \\ \text{No definido} & \text{si }b = 0, a = 0 \end{cases}

Este resultado se obtiene en radianes y en algunas ocasiones será útil convertirlo a grados:

\alpha=\frac{atan2(b, a)\cdot{360}}{2\cdot\pi}

También puede utilizarse la siguiente tabla que expresa las razones trigonométricas:

	>rad	>\sin \alpha	>\cos \alpha	\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
>0^{\circ}	>0	>0	>1	>0
>30^{\circ}	>\frac{\pi}{6}	>\frac{1}{2}	>\frac{\sqrt{3}}{2}	>\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}
>45^{\circ}	>\frac{\pi}{4}	>\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}	>\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}	>1
>60^{\circ}	>\frac{\pi}{3}	>\frac{\sqrt{3}}{2}	>\frac{1}{2}	>\sqrt{3}
>90^{\circ}	>\frac{\pi}{2}	>1	>0	>\text{No definido}
>180^{\circ}	>\pi	>0	>-1	>0
>270^{\circ}	>\frac{3\cdot\pi}{2}	>-1	>0	>\text{No definido}

Ejemplo de argumento

\begin{cases}z=(-3)+4\cdot{i} \\ \alpha=atan2(4, -3)=2.2143\text{ radianes}\end{cases}

\alpha=\frac{atan2(4, -3)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{2.2143\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{797.148}{2\cdot\pi}=126.8701^{\circ}\approx\frac{2\cdot\pi}{3}

Entonces tenemos que:

\alpha\approx\frac{2\cdot\pi}{3}

Módulo

Módulo y sus propiedades

Dado un número complejo z=a+b\cdot{i}, se define como módulo o valor absoluto a la expresión:

r=\|a+b\cdot{i}\|=\sqrt{a^2+b^2}

Dado z_1, z_2, \cdots, z_n \in{\mathbb{C}} se cumple que:

1. \|z_1\cdot{z_2}\cdot\text{ }\cdots\text{ }\cdot{z_n}\|=\|z_1\|\cdot\|z_2\|\cdot\text{ }\cdots\text{ }\cdot\|z_n\|
2. \|\frac{z_1}{z_2}\|=\frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}\text{ con }\|z_2\|\not{=}0
3. \|z_1+z_2\|\leq\|z_1\|+\|z_2\|
4. \|z_1+z_2+\text{ }\cdots\text{ }+z_n\|\leq\|z_1\|+\|z_2\|+\text{ }\cdots\text{ }+\|z_n\|

Ejemplo de módulo

z=(-3)+4\cdot{i}

\|z\|=\|(-3)+4\cdot{i}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Entonces tenemos que:

\|z\|=5

Formas de un número complejo

Forma de un número complejo:

• polar
• trigonométrica
• exponencial

Polar

Dado el punto (a, b) afijo del número complejo z=a+b\cdot{i} cuyo módulo es r y su argumento es \alpha, su representación en forma polar es z=r_\alpha

Ejemplo de forma polar

z=(-3)+4\cdot{i}

\|z\|=\|(-3)+4\cdot{i}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

\alpha=\frac{atan2(4, -3)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{2.2143\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{797.148}{2\cdot\pi}=126.8701^{\circ}\approx\frac{2\cdot\pi}{3}

Entonces tenemos que:

z=5_{\frac{2\cdot\pi}{3}}

Trigonométrica

También puede representarse en forma trigonométrica dónde

\begin{cases}a=r\cdot\cos{\alpha} \\ b=r\cdot\sin{\alpha} \end{cases}

con lo que tenemos

z=a+b\cdot{i}=r\cdot(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cdot{i})

Ejemplo de forma trigonométrica

z=(-3)+4\cdot{i}

\|z\|=\|(-3)+4\cdot{i}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

\alpha=\frac{atan2(4, -3)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{2.2143\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{797.148}{2\cdot\pi}=126.8701^{\circ}\approx\frac{2\cdot\pi}{3}

Entonces tenemos que:

z=a+b\cdot{i}=5\cdot(\cos(\frac{2\cdot\pi}{3})+\sin(\frac{2\cdot\pi}{3})\cdot{i})

Exponencial

También puede representarse en forma exponencial dónde

\begin{cases}\sin\alpha=\frac{e^{\alpha\cdot{i}}-e^{(-\alpha)\cdot{i}}}{2\cdot{i}} \\ \cos\alpha=\frac{e^{\alpha\cdot{i}}+e^{(-\alpha)\cdot{i}}}{2}\end{cases}

con lo que tenemos que

z=a+b\cdot{i}=r\cdot(\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cdot{i})=r\cdot{e^{\alpha\cdot{i}}}

Ejemplo de forma exponencial

z=(-3)+4\cdot{i}

\|z\|=\|(-3)+4\cdot{i}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

\alpha=\frac{atan2(4, -3)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{2.2143\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{797.148}{2\cdot\pi}=126.8701^{\circ}\approx\frac{2\cdot\pi}{3}

Entonces tenemos que:

z=a+b\cdot{i}=5\cdot{e^{\frac{2\cdot\pi}{3}\cdot{i}}}

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre:

La potencia n-ésima de un número complejo r_\alpha es otro complejo de módulo r^n y argumento n veces el argumento del primero

En consecuencia tenemos que

z^n={(r_\alpha)}^n=\overbrace{r_\alpha \cdots r_\alpha}^{n\;\rm veces}={(r^n)}_{n\cdot\alpha}

Ejemplo de la fórmula de Moivre

\tiny\begin{cases}z^4={((-3)+4\cdot{i})}^4 \\ \|z\|=\|-3+4\cdot{i}\|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \\ \alpha=\frac{atan2(4, -3)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{2.2143\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{797.148}{2\cdot\pi}=126.8701^{\circ}\approx\frac{2\cdot\pi}{3} \end{cases}

z^4={(5_{\frac{2\cdot\pi}{3}})}^4=(5^4)_{4\cdot{\frac{2\cdot\pi}{3}}}=625_{\frac{8\cdot\pi}{3}}

Entonces tenemos que:

z^4={(r_\alpha)}^n=625_{\frac{8\cdot\pi}{3}}

Raíces n-ésimas de un número complejo

Dado un número complejo z=r_{\alpha}\text{ si }w=s_{\beta} es una raíz n-ésima tenemos que

\begin{cases} z={(s_\beta)}^n={(r^n)}_{n\cdot\beta}=r_{\alpha} \\ s^n=r \\ n\cdot{\beta}=\alpha+2\cdot{k}\cdot\pi \\ s=\sqrt[n]{r} \\ \beta=\frac{(\alpha+2\cdot{k}\cdot\pi)}{n} \\ z_k=\sqrt[n]{r}\cdot{e}^{{\frac{(\alpha+2\cdot{k}\cdot\pi)}{n}}\cdot{i}} \end{cases}

con k=0,1,2,\cdots,(n-1) ya que para k=n se obtiene el mismo valor que para k=0

Existen por lo tanto n raíces n-ésimas distintas si z\not=0

Ejemplo de raíces cúbicas

\begin{cases} z^3+2=0\rightarrow{z^3=-2}\rightarrow{z=(-2)^{1/3}} \\ \|z\|=\|(-2)+0\cdot{i}\|=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}=2 \\ \alpha=\frac{atan2(0, -2)\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{\pi\cdot{360}}{2\cdot\pi}=\frac{360}{2}=180^{\circ}\approx\pi \\ \beta=\frac{\pi+2\cdot{k}\cdot{\pi}}{3} \end{cases}

\begin{cases} z_1={\sqrt[3]{2}} \cdot{e}^{{\frac{\pi+2\cdot{0}\cdot{\pi}}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{\pi}{3}}\cdot{i}} \\ z_2={\sqrt[3]{2}} \cdot{e}^{{\frac{\pi+2\cdot{1}\cdot{\pi}}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{\pi+2\cdot\pi}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{3\cdot\pi}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{\pi\cdot{i}} \\ z_3={\sqrt[3]{2}} \cdot{e}^{{\frac{\pi+2\cdot{2}\cdot{\pi}}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{\pi+4\cdot\pi}{3}}\cdot{i}}={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{5\cdot\pi}{3}}\cdot{i}} \end{cases}

Entonces tenemos que:

z^3+2=0\rightarrow\begin{cases} z_1={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{\pi}{3}}\cdot{i}} \\ z_2={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{\pi\cdot{i}} \\ z_3={\sqrt[3]{2}}\cdot{e}^{{\frac{5\cdot\pi}{3}}\cdot{i}} \end{cases}

Operaciones de los números complejos

Las operaciones de los complejos z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}

\begin{cases}z_1=a+b\cdot{i} \\ z_2=c+d\cdot{i} \\ z_3=e+f\cdot{i} \end{cases}

Operación suma

Para definir la suma se han de cumplir las siguientes propiedades

Propiedades de la suma

1. z_1+z_2 \in{\mathbb{C}}
2. z_1+(z_2+z_3)=(z_1+z_2)+z_3
3. \exists\text{ }0 \in \mathbb{C} | z_1+0=0+z_1=z_1
4. \exists\text{ }(-z_1) \in \mathbb{C} | z_1+(-z_1)=(-z_1)+z_1=0
5. z_1+z_2=z_2+z_1

Como cumple las propiedades anteriores, el par (C, +) tiene estructura de grupo abeliano

Ejemplo de suma

\begin{cases}z_1=(-3)+4\cdot{i} \\ z_2=5-2\cdot{i} \\ z=z_1+z_2 \end{cases}

z=((-3)+4\cdot{i})+(5-2\cdot{i})=((-3)+5)+(4-2)\cdot{i}=2+2\cdot{i}

Entonces tenemos que:

z=z_1+z_2=2+2\cdot{i}

Operación resta

La resta es un caso especial de la suma, para realizarla sólo hay que usar la suma del opuesto de sus partes reales y la suma de los opuestos de las partes imaginarias

Ejemplo de resta

\begin{cases}z_1=(-3)+4\cdot{i} \\ z_2=5-2\cdot{i} \\ z=z_1-z_2 \end{cases}

z=((-3)+4\cdot{i})-(5-2\cdot{i})=((-3)-5)+(4+2)\cdot{i}=(-8)+6\cdot{i}

Entonces tenemos que:

z=z_1-z_2=(-8)+6\cdot{i}

Operación multiplicación

Para definir la multiplicación se han de cumplir las siguientes propiedades

Propiedades de la multiplicación

1. z_1\cdot{z_2} \in{\mathbb{C}}
2. z_1\cdot(z_2\cdot{z_3})=(z_1\cdot{z_2})\cdot{z_3}
3. \exists\text{ }1 \in \mathbb{C} | z_1\cdot{1}=1\cdot{z_1}=z_1
4. \forall\text{ }(z_1) \in \mathbb{C} (z_1\ne{0}), \exists\text{ }{z_1}^-1 \in \mathbb{C} | z_1\cdot{z_1}^-1={z_1}^-1\cdot{z_1}=1
5. z_1\cdot{z_2}=z_2\cdot{z_1}

Como cumple las propiedades anteriores, el par (\mathbb{C}-\{0\}, \cdot) tiene estructura de grupo abeliano

Ejemplo de multiplicación

\begin{cases}z_1=(-3)+4\cdot{i} \\ z_2=5-2\cdot{i} \\ z=z_1\cdot z_2 \end{cases}

z=((-3)+4\cdot{i})\cdot(5-2\cdot{i})=((-3)\cdot{5})+((-3)\cdot(-2)\cdot{i}))+(4\cdot{i}\cdot{5})+(4\cdot{i}+(-2)\cdot{i})=(-15)+6\cdot{i}+20\cdot{i}-8\cdot{i^2}=(-15)+26\cdot{i}-8\cdot{i^2}=(-15)+8+26\cdot{i}=(-7)+26\cdot{i}

En el caso de obtener un valor imaginario al cuadrado (i^2), tomaremos ese valor como su opuesto real. En el ejemplo nos aparecía (-8)\cdot{i}, tomaremos 8 como número real que se sumará a su parte real

Entonces tenemos que:

z=z_1\cdot{z_2}=(-7)+26\cdot{i}

Operación división

La división es un caso especial de la multiplicación, para realizarla sólo multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador

El conjugado se obtiene de cambiar el signo de la parte imaginaria del denominador

Ejemplo de división

\begin{cases}z_1=(-3)+4\cdot{i} \\ z_2=5-2\cdot{i} \\ z={z_1 \over z_2} \end{cases}

z={((-3)+4\cdot{i})\over(5-2\cdot{i})}={((-3)+4\cdot{i})\over(5-2\cdot{i})}\cdot{(5+2\cdot{i})\over(5+2\cdot{i})}=
{(((-3)\cdot{5})+((-3)\cdot{2}\cdot{i})+(4\cdot{i}\cdot{5})+(4\cdot{i}\cdot{2}\cdot{i}))\over((5\cdot{5})+(5\cdot{2}\cdot{i})+((-2)\cdot{i}\cdot{5})+((-2)\cdot{i}\cdot{2}\cdot{i}))}=
{(-15)+(-6)\cdot{i}+20\cdot{i}+(8\cdot{i^2})\over{25}+10\cdot{i}+(-10)\cdot{i}+(-4)\cdot{i^2}}={(-15)+14\cdot{i}+(8\cdot{i^2})\over{25}+(-4)\cdot{i^2}}=
{(-15)-8+14\cdot{i}\over{25}+4}={(-23)+14\cdot{i}\over{29}}={(-23)\over{29}}+{14\cdot{i}\over{29}}

Entonces tenemos que:

z={z_1 \over z_2}={(-23)\over{29}}+{14\cdot{i}\over{29}}

Operación suma y producto

Además suma y producto comparten la siguiente propiedad

Propiedad de la suma y el producto

6. z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1\cdot{z_2}+z_1\cdot{z_3}

Como cumple la propiedad anterior, la terna (\mathbb{C}, +, \cdot) tiene estructura de cuerpo conmutativo

Ejemplo de suma y multiplicación

\begin{cases}z_1=(-3)+4\cdot{i} \\ z_2=5-2\cdot{i} \\ z=z_1\cdot(z_2+z_3) \end{cases}

z=((-3)+4\cdot{i})\cdot((5-2\cdot{i})+(8+3\cdot{i}))=((-3)+4\cdot{i})\cdot(5-2\cdot{i}))+((-3)+4\cdot{i})\cdot(8+3\cdot{i}))=((-3)\cdot{5})+((-3)\cdot(-2)\cdot{i})+(4\cdot{i}\cdot{5})+(4\cdot{i}+(-2)\cdot{i})+((-3)\cdot{8})+((-3)\cdot{3}\cdot{i})+(4\cdot{i}\cdot{8})+(4\cdot{i}\cdot{3}\cdot{i})=((-15)+6\cdot{i}+20\cdot{i}-8\cdot{i^2})+((-24)-9\cdot{i}+32\cdot{i}+12\cdot{i^2})=(-15)-24+6\cdot{i}+20\cdot{i}-9\cdot{i}+32\cdot{i}-8\cdot{i^2}+12\cdot{i^2}=(-39)+49\cdot{i}+4\cdot{i^2}=(-39)-4+49\cdot{i}=(-43)+49\cdot{i}

Entonces tenemos que:

z=z_1\cdot(z_2+z_3)=(-43)+49\cdot{i}