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Los números naturales son el conjunto ordenado de números que la humanidad ha usado para contar

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Números racionales

Números racionales

La extensión de los números enteros, \mathbb{Z}, a los números racionales \mathbb{Q}, tiene un claro paralelismo con la extensión de \mathbb{N}_0 a \mathbb{Z}. Como no podíamos restar en \mathbb{N}_0, nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo. Ahora nos encontramos el problema de que no siempre podemos dividir en \mathbb{Z}, y nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo

Para definir \mathbb{Z} tomábamos pares de números naturales, y aplicábamos una relación de equivalencia. La definición de \mathbb{Q} sigue los mismos pasos, pero una de manera aún más clara: los números racionales van a ser pares de números enteros, que se corresponden con el numerador y el denominador de cada fracción; además hay que tomar clases de equivalencia para identificar las fracciones que representan al mismo número

Como el denominador de una fracción no puede ser nulo, en lugar de tomar \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, se toma el conjunto:

\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\left\{0\right\})=\left\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Z} \quad b \not= 0\right\}

y en él definimos la relación \sim dada por:

(a, b)\sim (c, d) \Longleftrightarrow a\cdot d = b\cdot c

que se puede demostrar con facilidad, que es de equivalencia

(a, b) y (c, d) acabarán siendo, respectivamente los racionales \frac{a}{b} y \frac{c}{d}; aún no se puede hablar de la igualdad \frac{a}{b}=\frac{c}{d} (pues esas fracciones aún no existen), pero si tuviera sentido equivaldría a decir que a\cdot d = b\cdot c, que es lo que estamos utilizando para definir la relación de equivalencia

Ahora definimos \mathbb{Q} como el conjunto cociente:

\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\})/\sim
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Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana:

Sea x \in \mathbb{Q}, x > 0. Entonces para cualquier y \in \mathbb{Q} existe n \in \mathbb{N}_0 tal que n\cdot x > y

Demostración: propiedad arquimediana

Si y \leq 0 el resultado es trivial, pues basta tomar n = 1. Asumimos que y > 0. Queremos probar que existe n \in \mathbb{N}_0 que cumple n > \frac{y}{x}

El cociente de números racionales \frac{y}{x} será un número racional \frac{a}{b} con a y b enteros positivos. Así pues, n > \frac{y}{x}=\frac{a}{b} equivale a decir n \cdot b > a Y eso se consigue tomando n = a + 1 ya que:

(a + 1)\cdot b = a\cdot b + b \geq a + b \geq a + 1 > a

que es justo lo que pretendíamos

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Números reales

Números reales

Los números reales completan lo que ya hacían los números racionales

Los números racionales \mathbb{Q}, nos ofrecen ya muchas posibilidades. Pero en seguida puede uno darse cuenta de que no son suficientes para alguna de las tareas que uno desearía encomendar a los números: medir unidades. De hecho, fueron los pitagóricos en el siglo IV A. C. los que observaron esa importante carencia de los números racionales, lo que supuso una enorme crisis en la concepción de las matemáticas que ellos tenían

La idea de los pitagóricos era que todo se tenía que reducir a proporciones numéricas; y tales proporciones equivaldrían a nuestras fracciones. Posiblemente, su profunda decepción fue fruto de su descubrimiento de que la diagonal del cuadrado era inconmensurable con la longitud, es decir, que la diagonal no se puede expresar como un número racional de veces la longitud del lado

La longitud de la diagonal de un cuadrado se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y su fórmula:

c^2=a^2+b^2

donde a y b son los catetos y c su hipotenusa

Existen muchas demostraciones del teorema de Pitágoras y de muy distinta naturaleza por el tipo de técnicas que utilizan

Una de las más modernas es la basada en un argumento de áreas, publicada en la revista The New England Journal of Education y debida al vigésimo presidente de Estados Unidos James A. Garfield

Hay tres métodos usados habitualmente para definir los números reales \mathbb{R}, a partir de los racionales \mathbb{Q}, y los tres tienen su origen en el siglo XIX, que es cuando el análisis matemático alcanzó el rigor que se exige en la actualidad. Estos métodos son los siguientes:

  • Cortaduras de Dedekind
  • Clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales
  • Clases de equivalencia de pares de sucesiones monótonas convergentes

Los números reales \mathbb{R}, son un cuerpo con una relación de orden verificando el axioma de completitud (también denominado axioma del supremo): todo conjunto acotado superiormente posee supremo

Es decir, los números reales son un conjunto con dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden cumpliendo exactamente las mismas propiedades que en el caso de los racionales. La única diferencia entre los reales y los racionales, es que para los primeros se cumple el axioma de completitud

Un número real que no sea racional lo denominaremos irracional

Esta definición de los números reales simplemente mediante axiomas es engañosa, ya que, sin una construcción formal a partir de conceptos previos, nada garantiza que exista ese modelo de definición axiomática. Intentaremos construirla mediante las cortaduras de Dedekind y su unicidad. También se comentará algo de los otros dos métodos

Proposiciones

Para las propiedades en las que intervienen \mathbb{Z} y \mathbb{Q} no vamos a dar todos los detalles de las demostraciones, sólo alguna indicación de como plantearlas. La que sí se va a desarrollar es la de la propiedad Arquimediana, dada su gran importancia y utilidad

Proposición 1: Propiedad Arquimediana

Sea x\in\mathbb{R}, x > 0. Entonces \forall y\in\mathbb{R}, \exists n\in\mathbb{N}_0\Rightarrow n\cdot x > y

Demostración de la Proposición 1

Si y \leq 0, si tomamos n = 1 no hay nada que probar. Si y > 0 lo probaremos por reducción al absurdo

Supongamos que n\cdot x \leq y para todo n\in\mathbb{N}_0 y consideramos el conjunto S=\{n\cdot x | n \in\mathbb{N}_0\}. El conjunto S, que es distinto de vacío, está acotado superiormente (por y), luego por el axioma de completitud posee supremo

Sea s=\text{ sup }S, como x > 0 entonces s - x < s, por la definición de supremo s - x no puede ser cota superior de S. Por tanto existirá algún elemento de S de la forma m \cdot x, con m\in\mathbb{N}_0 tal que s - x < m \cdot x

Pero esto implica que s < (m+1) \cdot x y obviamente (m+1) \cdot x \in S, con lo que s no es cota superior de s, con lo que llegamos a una contradicción con el hecho de que sea el supremo de S, probando así, la propiedad arquimediana por reducción al absurdo

Proposición 2

Tomando x = 1 tenemos que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Y puede probarse fácilmente con la propiedad arquimediana

Proposición 3

\forall \epsilon\in\mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n\in\mathbb{N}\Rightarrow \frac{1}{n} < \epsilon

Considerando y=1 y x=\epsilon > 0 podemos probar la proposición usando la propiedad arquimediana y nos resultará de gran utilidad cuando estudiemos límites de sucesiones

Proposición 4

Si \alpha, \beta \in \mathbb{R} que cumplen \beta - \alpha > 1 entonces \exists k\in\mathbb{Z} que cumple \alpha < k < \beta

Para probar esta proposición bastará con tomar \alpha como el mayor entero que satisface \alpha\leq\alpha y considerar k=a+1, que se cumplirá que \alpha < k < \beta

Dado \alpha\in\mathbb{R} el mayor entero a tal que a \leq \alpha < a+1, se denomina parte entera de \alpha y se denota por \mid\alpha\mid

Para ser absolutamente rigurosos, debemos probar la existencia y la unicidad de dicho valor

Proposición 5

Dado \alpha\in\mathbb{R}, \exists a \in\mathbb{N} único tal que a\leq\alpha < a+1

También puede demostrarse apoyándose en la propiedad arquimediana

Proposición 6

Se cumple lo siguiente:

  • Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists r\in\mathbb{Q}\Rightarrow\alpha < r < \beta
  • Sean r, s \in\mathbb{Q} con r < s. Entonces \exists \alpha\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow r < \alpha < s
  • Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists \Upsilon\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow \alpha < \Upsilon < \beta

La primera parte se deduce con la proposición 3: \exists n\in\mathbb{N} con \frac{1}{n} < \beta - \alpha de donde n\cdot\beta - n\cdot\beta > 1 y por la proposición 4: \exists k \in \mathbb{Z} con n\cdot\alpha < k < n\cdot \beta. Tomamos r=\frac{k}{n}

La segunda parte basta con usar que existe un irracional entre 0 y 1 (o entre cualquier otra pareja fija de racionales), desplazar y escalar

La tercera parte es consecuencia de las dos anteriores (entre \alpha y \beta podemos intercalar racionales dos veces)

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Desigualdades

Desigualdades

A continuación se van a enumerar algunas desigualdades que son útiles o que todavía no han sido mencionadas

Hasta ahora hemos mostrado algunas propiedades que se verifican en los diversos conjuntos de números

Teniendo en cuenta que cada conjunto numérico que hemos definido con anterioridad contiene al anterior y el conjunto de los reales los contiene a todos, todas ellas (excepto el principio de la buena ordenación de los números naturales) se verifican para los números reales

Por ejemplo, usando algunas de las desigualdades mencionadas con anterioridad, es posible probar que:

  • 0\leq a \leq b \Rightarrow a^2 \leq b^2
  • 0 < a \leq b \Rightarrow \frac{1}{b} \leq \frac{1}{a}

Valor absoluto de un número real

Se define para un número real del mismo modo que ya se hizo para los enteros, pero además cumple algunas desigualdades que merecen ser señaladas

  • -\|a\| \leq a \leq \|a\|
  • \|a\| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b
  • \|a\| \geq b \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq b \\ a \leq -b \end{cases}
  • \|a\cdot b\| = \|a\|\cdot \|b\|
  • a^2 \leq b^2 = \|a\| \leq \|b\|

Hay que tener en cuenta que en la igualdad \sqrt{a^2}=\|a\|, solamente será cierta \sqrt{a^2}=a si a \geq 0

Distancia

Dados a, b \in \mathbb{R}, se llama distancia entre a y b al número real no negativo \|a-b\|

Esta notación es fundamental para interpretar desigualdades de la forma \|x-a\| \leq b, como la distancia de x a a es menor o igual que b

Desigualdad triangular

Ya la vimos anteriormente, pero como es una desigualdad importante la recordamos para los números reales

Dados a, b \in \mathbb{R} se cumple que \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|

Demostración: desigualdad triangular

Tomamos \begin{cases} -\|a\|\leq a \leq \|a\| \\ -\|b\|\leq b \leq \|b\| \end{cases}

Sumamos ambas desigualdades y obtenemos -(\|a\|+\|b\|) \leq a+b \leq \|a\|+\|b\|

Y por tanto \|a+b\| \leq \|a\|+\|b\|

Desigualdad triangular inversa

Dados a, b \in \mathbb{R} se cumple que \|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

Demostración: desigualdad triangular inversa

La desigualdad triangular inversa es equivalente a probar que -(a-b) \leq \|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

Por la desigualdad triangular se tiene que

\|a\|=\|a-b+b\| \leq \|a-b\|+\|b\|
\|a\|-\|b\| \leq \|a-b\|

con lo que el lado derecho de la desigualdad queda probado

Por la desigualdad triangular se tiene que

\|b\|=\|b-a+a\| \leq \|b-a\|+\|a\|
\|b\|-\|a\| \leq \|b-a\|
-(a-b) \leq \|a\|-\|b\|

con lo que el lado izquierdo de la desigualdad queda probado

Desigualdad entre la media aritmética y geométrica

Una de las desigualdades más útiles y populares es la desigualdad entre la media aritmética y geométrica (denominada en ocasiones AM – GM). La cual se define de la siguiente manera:

Dados a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathbb{R^+}

Se define la media aritmética como M_{n, 1}=\frac{a_1, a_2, \cdots, a_n}{n}

Se define la media geomética como M_{n, 0}=\sqrt[n]{a_1, a_2, \cdots, a_n}

Y la desigualdad se define como M_{n , 0} \leq M_{n, 1}

Demostración: desigualdad entre la media aritmética y geométrica

Esta demostración se publicó en la revista Mathematical Intelligencer en 2007, vol. 29, número 4 por M. D. Hirschhorn. Es sencilla de entender y se basa en una inducción sobre n

Si n=1 entonces M_{1, 0}=M_{1, 1}

Supongamos que se cumple para n

Vamos a utilizar la siguiente observación, aparentemente sin relación, para obtener el objetivo perseguido:

x^{n+1}-(n+1)\cdot x + n \geq 0\text{, si }x > 0

La demostración de este hecho es evidente usando la identidad

x^{n+1}-(n+1)\cdot x +n=(x-1)^2\cdot(x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots +(n-1)\cdot x+ n)

Se puede probar también por inducción. Si n=1 se deduce de la identidad x^2-2\cdot x+1=(x-1)^2

Supongamos que se cumple para n

(x-1)^2\cdot (x^n+2\cdot x^{n-1}+\cdots + n\cdot x + n +1)= =(x-1)^2\cdot [x\cdot (x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots + (n-1)\cdot x + n) + n +1]= =x\cdot [(x-1)^2\cdot (x^{n-1}+2\cdot x^{n-2}+\cdots + (n-1)\cdot x + n)] + (x-1)^2\cdot (n +1)= =x\cdot (x^{n+1}-(n+1)\cdot x + n) + (x^2-2\cdot x + 1)\cdot (n +1)=

=x^{n+2}-(n+2)\cdot x + n+1

Ahora tomamos \begin{cases}a=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}}{n+1} \\ b=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\end{cases}, usando en la identidad elegida x=\frac{a}{b} tendremos que \begin{cases}(\frac{a}{b})^{n+1}-(n+1)\cdot\frac{a}{b}+n\geq 0 \\ a^{n+1}\geq ((n+1)\cdot a - n \cdot b)\cdot b^n \end{cases}

Que puede reescribirse como

\begin{cases}(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n+a_{n+1}}{n+1})^{n+1}\geq a_{n+1}\cdot (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n})^n \\ (M_{n+1, 1})^{n+1} \geq a_{n+1}\cdot (M_{n,1})^n \end{cases}

puesto que M_{n,0}\geq M_{n,1}

se tiene que (M_{n+1,1})^{n+1})\leq a_{n+1}\cdot (M_{n,0})^n=a_{n+1}\cdot a_n \cdots a_1

que es equivalente a M_{n+1, 0} \leq M_{n+1,1}

Con lo que se finaliza la demostración al cumplirse el argumento de inducción

Notas

Resulta interesante observar que la igualdad M_{n,0}=M_{n,1} se cumple sólo si y sólo si a_1=a_2=\cdots=a_n. Este hecho se deduce teniendo en cuenta que la igualdad x^{n+1}-(n+1)\cdot x+n=0, para x > 0, solo se cumple si x=1 y se ha elegido un argumento de inducción adecuado

La media aritmética y la media geométrica son solo dos casos particulares de una clase de medias mucho más amplia. \forall s \in \mathbb{R}, se define la media de orden s de los valores reales positivos a_1,a_2,\cdots,a_n\text{ como }M_{n,s}=(\frac{a_{n}^{s}+\cdots+a_{1}^{s}}{n})^\frac{1}{s}\text{, }s\not=0
M_{n,0} como ya se ha hecho. También se pueden considerar los casos límite \begin{cases}M_{n, -\infty}=min\{a_1,a_2\cdots,a_n\} \\ M_{n, +\infty}=max\{a_1,a_2\cdots,a_n\} \end{cases}

La desigualdad entre la media aritmética y la geométrica es, a su vez, un caso particular de una cadena más general de desigualdades: M_{n, s} \leq M_{n, r}\text{, si }s < r

La media M_{n, -1} se denomina media armónica y se puede deducir de manera elemental de la desigualdad M_{n, 0}\leq M_{n,1} que M_{n, -1}\leq M_{n,0}