Números naturales

Los números naturales son el conjunto ordenado de números que la humanidad ha usado para contar, los cuales tienen asignados nombres ordinales para nombrar a cada número en particular:

Y así podríamos seguir enumerándolos hasta aburrirnos, ya que el conjunto de los números naturales es infinito

Sin embargo, no hay un acuerdo universal sobre si se debe considerar el cero como número natural. Históricamente, el 0 como número tuvo un origen muy posterior al del resto de números. Los babilonios, en el siglo VII a. c. tenían un símbolo para el cero, pero sólo para no dejar espacios vacíos al representar cantidades en su sistema de numeración posicional en base 60 en escritura cuneiforme

El matemático hindú Brahmagupta, ya lo consideraba un número más, en el siglo VII; y posiblemente, las civilizaciones olmeca y maya ya lo usaban como número, siglos antes. En cambio, los griegos, de los que derivan las matemáticas de la cultura occidental, no tenían concepto de cero; y por esa razón, no hay forma de representarlo en números romanos, cultura que bebía de la griega, que se impuso en Europa hasta que el sistema decimal en base 10 (de origen indio y adoptado por los árabes) comenzó a imponerse lentamente a partir del siglo XIII

Por este motivo, se pueden definir los números naturales de dos formas:

Los axiomas de Peano

Los axiomas de Peano (también conocidos como postulados de Peano) fueron una propuesta del matemático italiano Geuseppe Peano en 1889, con el fin de formalizar de forma axiomática los números naturales, basándose en al teoría de conjuntos desarrollada por Georg Cantor

Axiomas que todavía siguen usándose en al actualidad

Se definen los números naturales como un conjunto (denominado \mathbb{N}_0), un elemento (que asume el papel de cero y que denotaremos como 0) y un elemento «siguiente» (o «sucesor») que es una aplicación denotada mediante S de manera que cumpla:

1. El cero es número natural
2. El siguiente número natural es también un número natural
3. No existe un número natural cuyo siguiente sea cero
4. Si los siguientes de dos números naturales son iguales, entonces los dos números son iguales
5. Si S es un conjunto de números naturales tal que cero es de S y siempre que un número natural es de S también su siguiente está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales

Utilizando un lenguaje más formal o algebraico, estos cinco axiomas podemos enunciarlos así:

1. 0\in \mathbb{N}_0
2. \exists s| \mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 y además cumple los axiomas siguientes
3. \not\exists n\in \mathbb{N}_0 |s(n)=0
4. s(n)=s(m)\Rightarrow n=m (s es inyectiva)
5. S\in \mathbb{N}, 0\in S |\forall n\in S=s(n)\in S\Rightarrow S=\mathbb{N}_0

El método de inducción

A partir del concepto de inducción aparece la idea de inducción matemática, lo que permite hacer demostraciones por el método de inducción

Se pueden expresar los números naturales como una terna (\mathbb{N}_0,0,s) con \mathbb{N}_0 un conjunto, 0\in \mathbb{N}_0, s| \mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0\backslash\{0\} una aplicación inyectiva, y de manera que se cumpla el quinto de los axiomas anteriores, el cuál se denomina axioma de inducción o principio de inducción

Para ello, se toma S como el conjunto de los números naturales que cumplen una determinada propiedad que quiere ser demostrada, se comprueba que cero cumple la propiedad (es decir 0\in S), y que si un número n la cumple, el siguiente también la cumplirá (es decir n\in S\Rightarrow s(n)\in S); y como consecuencia del axioma de inducción, todos los números naturales cumplen la propiedad (S=\mathbb{N}_0)

En la práctica, el principio de inducción se suele aplicar en términos de propiedades más que en términos de conjuntos. Para llevarlo a cabo realizaremos los siguientes pasos:

Supongamos que para cada número natural n\geq n_0 se tiene una cierta propiedad P_n que puede ser cierta o no. Suponemos que:

1. P_n es cierta
2. Si para algún n\geq n_0 la propiedad P_n es cierta, entonces P_{n+1} también lo es

Entonces P_n es cierta para todo n\geq n_0

La demostración habrá terminado, porque habremos podido probar la propiedad para todos los naturales

Ejemplo de inducción: La suma de Gauss

La suma de Gauss es un ejemplo práctico del método de inducción

En 1789. Carl Friedrich Gauss (que llegaría a ser un gran matemático y físico), estando en la escuela, con la edad de nueve años, su profesor quería mantener ocupados a los niños durante un rato, les mandó sumar los cien primeros números. Apenas había terminado de asignar la tarea cuando Gauss se levantó y entregó su pizarra. Sobre la pizarra había un único número: 5050. Resultó que 5050 era precisamente la suma de los números desde uno hasta cien ¿Cómo había encontrado la solución tan rápido?

Gauss se dio cuenta de algo curioso. La suma que había que hacer era \sum\limits_{k=1}^{100} k, que puede llevar bastante tiempo si se hace en ese orden, pero si se suman el primero y el último número, se obtiene 101. Lo mismo ocurre si se suma el segundo con el penúltimo y el tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente. Se puede ver que todas esas sumas tienen el mismo resultado: 101

Puesto que hay evidentemente 50 parejas cuya suma es 101, el resultado de la suma desde uno hasta cien es 50\times 101=5050. Esta manera de enfrentarse al problema es un excelente ejemplo de solución elegante

Esta solución no sólo vale para los números de uno a cien. En general, la suma de los n primeros números (siendo n un número par) es el último número más uno por el número de parejas, es decir \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2}

Ahora vamos a demostrar que \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2} se cumple para todos los números naturales usando el método de inducción:

Tomamos como P_n el lado izquierdo de la igualdad, comprobamos que para P_1 es cierta: P_1=\sum\limits_{k=1}^{1} k=1

Ahora lo comparamos con el lado derecho \frac{1\cdot(1+1)}{2}=\frac{1\cdot 2}{2}=\frac{2}{2}=1. Como 1=1, tenemos que la igualdad era cierta para P_1

Suponemos que es cierta hasta n: \sum\limits_{k=1}^{n} k=\frac{n\cdot(n+1)}{2}

Ahora comprobamos que se cumple para n+1:

\sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\frac{(n+1)\cdot((n+1)+1)}{2}=\frac{(n+1)\cdot(n+2)}{2}=\frac{n^2+2\cdot n+n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
(\sum\limits_{k=1}^{n} k)+(n+1)=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

Aplicamos la hipótesis de inducción: (\frac{n\cdot(n+1)}{2})+(n+1)=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

\frac{n\cdot(n+1)+2\cdot(n+1)}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
\frac{n^2+n+2\cdot n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}
\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}=\frac{n^2+3\cdot n+2}{2}

Se cumple, entonces P_n es cierta para todo n\geq n_0 y por tanto se cumple para todos los números naturales

Proposición: principio de la buena ordenación

El principio de la buena ordenación que si (\mathbb{N}_0, \leq) es un conjunto bien ordenado (es decir, cualquier subconjunto de \mathbb{N}_0 no vacío) tiene mínimo

Demostración: principio de la buena ordenación

Se va a probar por reducción al absurdo

Supongamos que existe un subconjunto A\subset\mathbb{N}_0, A\not=\emptyset, que no tiene mínimo

Entonces definimos el conjunto S=\{n\in\mathbb{N}_0|n\leq a, \forall a\in A\}

Debemos darnos cuenta de que si n\in A\cap S, tendríamos que n=\text{mín}(S) y hemos supuesto que S no tiene mínimo, por tanto A\cap S=\emptyset

Ahora vamos a probarlo para todo el conjunto usando el axioma de inducción:

Comprobamos que 0\in S
0+a=a entonces 0\leq a, \forall a\in A

\text{Si }n\in S, como A\cap S=\emptyset entonces n < a, \forall a\in A, (por la definición de orden en \mathbb{N}_0) en cada caso existirá un número natural n_a \geq 1 tal que n+n_a=a, con lo cual se cumple siempre que s(n)=n+1\leq n+n_a=a, y por tanto s(n)\in S

Cumpliéndose estas condiciones, el axioma de completitud nos asegura que S=\mathbb{N}_0

Que es un absurdo, ya que A\cap S=\emptyset entonces A=\emptyset, que es claramente una contradicción de la suposición original A\not=\emptyset

Un modelo de los números naturales

Vamos a ver un modelo de los naturales

Una teoría axiomática es consistente cuando no aparece algún tipo de contradicción que hace que los axiomas no tengan sentido

Los axiomas de Peano introducen los números naturales a partir de la teoría de conjuntos. Tras exponer los axiomas, se han dado algunas definiciones adicionales (la suma, el producto y el principio de buena ordenación). Pero ¿son consistentes los axiomas de Peano? Es decir ¿existe un modelo basado en el modelo de conjuntos que cumpla los axiomas de Peano? Vamos a ver cómo construir un modelo de los números naturales a partir de la teoría de conjuntos

Nota si disponemos de un modelo, estaríamos reduciendo la consistencia de los números a la de la teoría de los conjuntos ¿Y la teoría de conjuntos es consistente? En algún momento hay que dejar de descender, y hay que asumir algo como cierto sin posibilidad de que sea demostrado. Kurt Gödel probó en 1930 sus famosos teoremas de incompletitud, que de forma simplificada afirman lo siguiente:

• Primer teorema de incompletitud
  En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema
• Segundo teorema de incompletitud
  Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo

Estos resultados fueron muy negativos para la aproximación filosófica a las matemáticas, propuesta por David Hilbert, conocida como programa de formalización de Hilbert. Que había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se tenía que probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica

Con su primer teorema, Gödel demostró que la aritmética es incompleta, y de ese modo será imposible que pueda ser usada para demostrar la consistencia de cualquier sistema de axiomas. El paraíso ideado por Hilbert no existía, era una utopía

Dejemos la lógica y volvamos a los números naturales. Un modelo de los axiomas de Peano sería una tripleta (\mathbb{N},0,s) con \mathbb{N} un conjunto, 0\in \mathbb{N}, s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} una aplicación que satisficiera dichos axiomas. No es difícil ver que si tenemos dos modelos, deben ser el mismo, ya que dados dos modelos (\mathbb{N}_A, 0_A, s_A) y (\mathbb{N}_B, 0_B, s_B) de los axiomas de Peano, la aplicación f|\mathbb{N}_A\rightarrow \mathbb{N}_B definida mediante:

\begin{cases}f(0_A)=0_B \\ f(s_A(n))=s_B(n) \end{cases}

es una biyección. Ya que tenemos que, sólo puede haber un modelo de los axiomas de Peano ¡Pero aún no hemos definido ninguno!

Los lógicos Gottlob Fregge y Bertrand Russell construyeron modelos de los axiomas de Peano basándose en la idea intuitiva de que un número natural es el cardinal de un conjunto. Es decir, cada número natural es la «esencia» que comparten los conjuntos biyectivos (y finitos) cuyo número cardinal es ese número cardinal. Entonces un número natural se definiría como la case de equivalencia de esos conjuntos; además el cero se corresponde con el conjunto vacío (en realidad, su clase de equivalencia) y s aplicado a un conjunto consiste en añadirle un elemento que no este en el conjunto (para cada conjunto de la clase de equivalencia). Sin embargo, esta idea tiene dificultades lógicas serias, pues, según las leyes de la axiomática de Zermelo-Fraenkel en que se basa la matemática actual, dicho de manera informal: «el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto», las clases de equivalencia de conjuntos biyectivos tampoco forman un conjunto

El modelo que se usa habitualmente es el del matemático húngaro nacionalizado estadounidense, János von Neumann, quien no sólo hizo importantes contribuciones en multitud de campos de la matemática, sino en la informática con la arquitectura de von Neumann, usada actualmente en los ordenadores y en la fabricación de la primera bomba atómica

El modelo ideado por von Neumann comienza con la definición de 0 como el conjunto vacío (\emptyset), y además se define un operador s actuando sobre los conjuntos mediante s(A)=A\cup(A)

Se define el conjunto de los números naturales \mathbb{N}_0, como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo la acción de s (es decir, de todos los conjuntos C tales que s(C)\subset C) que contienen al conjunto vacío. Cada número natural (entendido como un conjunto), es el conjunto de los números naturales menores que él:

\scriptsize\begin{cases}0=\emptyset \\ 1=s(0)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}=\{0\} \\ 2=s(1)=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{0,1\} \\ 3=s(2)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{0,1,2\} \\ \cdots \\ n=s(n-1)=\cdots=\{1,2,3,\cdots,n\} \end{cases}

El conjunto \mathbb{N}_0, junto con 0 y la función «siguiente» s|\mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0, satisface los axiomas de Peano

Operaciones de los números naturales

Vamos a ver las operaciones de los naturales

Con los axiomas de Peano y con el cero como primer elemento de \mathbb{N}_0, introducimos la notación de los demás:

Operación suma

La suma o (adición) en \mathbb{N}_0 es una operación que +|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

\begin{cases}a+0=a \\ a+s(b)=s(a+b) \end{cases}

Propiedades de la suma

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

• Propiedad asociativa para la suma
  a+(b+c)=(a+b)+c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a+b+c)
• Propiedad conmutativa para la suma
  a+b=b+a
• Elemento neutro de la suma
  0\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a+0=a; \forall a\in\mathbb{N}_0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a+b=0
• Propiedad de cancelación (simplificación) en la suma
  \text{Si }a+c=b+c\rightarrow a=b

Operación producto

El producto o (multiplicación) en \mathbb{N}_0 es una operación que \cdot|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

Propiedades del producto

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

• Propiedad asociativa para el producto
  a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a\cdot b\cdot c)
• Propiedad conmutativa para el producto
  a\cdot b=b\cdot a
• Elemento neutro del producto
  1\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a\cdot 1=a; \forall a\in\mathbb{N}_0,a\not=0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a\cdot b=1
• Propiedad de cancelación (simplificación) en el producto
  \text{Si }a\cdot c=b\cdot c\text{ con }c\not= 0\rightarrow a=b

Operación suma y producto

Además suma y producto comparten la siguiente propiedad:

Propiedad de la suma y el producto

• Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
  \text{Si }a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

Nota si hubiésemos optado por representar los naturales sin el cero, en los axiomas de Peano bastaría cambiar \mathbb{N}_0 por \mathbb{N} y 0 por 1. Ya que el primer axioma sólo sirve para asegurar que \mathbb{N}_0 no es el conjunto vacío, y el nombre que se le de al primer elemento, no es relevante en su definición. Cuando si toma relevancia es cuando se definan las operaciones suma y producto. Si se construyen los naturales empezando en 1, la definición de la suma se comienza por a+1=s(a), y la del producto por a\cdot 1=a