Sucesiones

Pensemos que son las sucesiones

Informalmente, una sucesión de números reales es una lista limitada por números $s_1, s_2, s_3, s_4, \cdots, s_n, \cdots$ (donde n indica el lugar que ocupa el número $s_n$ en la lista); es obvio que se trata de una función real con dominio $\mathbb{N}$

Sucesión

Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio $\mathbb{N}$ y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con dominio $\mathbb{R}$, es decir, una aplicación $s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$

Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada $n\in\mathbb{N}$ se denota por $s_n$, en lugar de $s(n)$ como cualquier otra función. Normalmente nos referiremos a $s_n$ con el nombre de término n-ésimo de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información: su valor y el lugar n que ocupa

Como el dominio $\mathbb{N}$ es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación $s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$, es más frecuente encontrar notaciones del tipo $(s_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ó $(s_n)_{n=1}^{\infty}\text{, }\left\{s_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ ó $(s_n)$, si no da lugar a confusión, o alguna similar, poniendo mayor énfasis en los términos

Aunque la notación pueda propiciar confusión, no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la sucesión y el conjunto de valores que toma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obsérvese, que por ejemplo, una sucesión tiene siempre infinitos términos incluso aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes

Las sucesiones se indican dando una fórmula que defina el término n-ésimo, siendo las más corrientes:

• Sucesión constante:
  $s_n=a$, donde a es un número real prefijado y consta de los términos $a, a, a, a, \cdots, a, \cdots$
• Sucesión de los números naturales:
  $s_n=n$, consta de los términos $1, 2, 3, 4, \cdots, n, \cdots$
• Sucesión de los números fraccionarios:
  $s_n=\frac{1}{n}$, consta de los términos $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots$
• Sucesión de 1, -1:
  $s_n=(-1)^n$, consta de los términos $-1, 1, -1, 1, \cdots, (-1)^n, \cdots$
• Sucesiones algebraicas complejas:
  Las fórmulas no tienen por qué referirse únicamente a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, la sucesión de las aproximaciones decimales de $\pi$, consta de los términos $3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, \cdots, 3.14159265, \cdots$

  Podemos dar una fórmula explícita para el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera, aunque no supiéramos escribir todas las cifras del término, por ejemplo, un millón

  Concretamente, para cada $n\in\mathbb{N}$, $s_n= 3 + \frac{a_1}{10} + \frac{a_2}{10^2} + \cdots + \frac{a_k}{10^k} + \cdots + \frac{a_n}{10^n}$ donde $a_k= [10^k \cdot \pi] - 10 \cdot [10^{k-1} \cdot \pi] (1 \leq k\leq n)$

  El hecho de que esta fórmula no proporcione un algoritmo de cálculo para los $a_k$ no impide que estos estén definidos sin ambigüedad y sin excepción alguna

• Sucesiones recurrentes:
  Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en función de los anteriores (mediante una definición inductiva o recursiva). Un ejemplo de este tipo es la sucesión de Fibonacci:

  $s_1=s_2=1, s_{n+2}=s_{n+1}+s_n, n\in\mathbb{N}$, consta de los términos $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \cdots$

• Sucesión de carácter no matemático
  La regla que define una sucesión no tiene por qué ser de carácter estrictamente matemático. Por ejemplo, podemos definir una sucesión de la siguiente manera:

  $\tiny s_n=\left\{\begin{matrix}\frac{10^7}{3} & \text{si el nombre del n}\acute{u}\text{mero n contiene la letra d} \\ \sqrt{n} & \text{en caso contrario}\end{matrix}\right.$
  
  O mediante cualquier otra condición que permita asegurar que para cada $n\in\mathbb{N}$ se le asocia sin excepción, inequívocamente un único número real perfectamente definido

• Sucesión que es exactamente un conjunto numérico
  Existen sucesiones cuyo rango es exáctamente $\mathbb{Z}$ ó $\mathbb{Q}$; la construcción usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor

  $s_1=0, s_2=1, s_3=\frac{1}{2}, s_4=\frac{-1}{2}, \cdots$

  Esta construcción, que admite repetidos, permite probar que el conjunto de los racionales es numerable; es decir, su cardinal coincide con el de los naturales

Límite de la sucesión

Una sucesión $(s_n)$ se dice convergente si existe un número real a tal que para cada $\epsilon > 0$ se puede encontrar un número natural $N=N(\epsilon)$ de modo que siempre que $n>N$ se verifique $\left \|s_n-a\right \|<\epsilon$

Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión $(s_n)$ y se escribe $a=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n$. También diremos que $s_n$ converge al número a

La expresión $s_n \to a$ se usa para indicar que la sucesión de término n-ésimo $s_n$ es convergente y tiene por límite a

Hay que recordar que la desigualdad $\left \|s_n-a\right \|<\epsilon$ es equivalente a las dos desigualdades $-\epsilon < s_n - a < \epsilon$ que equivalen a su vez a las desigualdades $a-\epsilon < s_n < a+\epsilon$

• La sucesión constante $s_n=c (c\in\mathbb{R})$ converge al número $\epsilon$
• La sucesión $s_n=\frac{1}{n}$ converge a 0 (como consecuencia de la propiedad arquimediana)
• La sucesión $s_n=(-1)^n$ no es convergente si tuviese límite 1, tomando $\epsilon=2$ en la definición de límite, tendría que ser $\left \|s_n-1\right \|<2$ para todo n suficientemente grande; sin embargo $\left \|s_n-1\right \|=2$ para todos los n impares. Y si tuviese límite $a\not=1$, tomando $\epsilon=\left \|1-a\right \|$, tendría que ser $\left \|s_n-a \right \| < \left \|1-a \right \|$ para todo n suficientemente grande; sin embargo $\left \|s_n-a \right \| = \left \|1-a \right \|$ para todos los n pares

  Conclusión: la sucesión no tiene límite

• La sucesión $s_n=n$ no puede ser convergente, pues si tuviese límite a, tomando $\epsilon=1$ en la definición de convergencia, para algún N habría de ser $n<a+1$ siempre que n fuese mayor que N, lo cual es imposible (como consecuencia de la propiedad arquimediana)

Proposición: unicidad del límite de una sucesión

Sea $(s_n)$ una sucesión convergente y $a, b \in \mathbb{R}$ tales que $a=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n, b=\underset {n \to \infty} {\lim} s_n$ entonces $a=b$

Demostración

Como a y b son límites de la sucesión $s_n$, dado $\epsilon > 0$ existirán N y N’ tales que

$\left\{\begin{matrix}\left \| s_n-a \right \|\leq \frac{\epsilon}{2} & \text{si }n > N \\\left \| s_n-b \right \|\leq \frac{\epsilon}{2} & \text{si }n > N'\end{matrix}\right.$

Entonces $\left \|a-b\right\|=\left\|a-s_n+s_n-b\right\|\leq \left\|s_n-a\right\|+\left\|s_n-b\right\|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$, por tanto $\left\|a-b\right\|=0\rightarrow a=b$

Conclusión: el límite de una sucesión convergente es el único número real al que la sucesión converge

Sucesión acotada

Una sucesión $(s_n)_{n=1}^{\infty}$ se dice que está acotada superiormente si existe algún número $C\in\mathbb{R}$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}, s_n \leq C$

Se dice que está acotada inferiormente si existe algún número $K\in\mathbb{R}$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}, K\leq s_n$

Se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente. Equivale a decir que existe un número $M\geq 0$ tal que para todo $n\in\mathbb{N}, \left\|s_n\right\|\leq M$

Proposición: Convergente y acotada

Toda sucesión convergente está acotada

Demostración

Sea $(s_n)$ una sucesión convergente a un número $a\in\mathbb{R}$

Tomamos $\epsilon=1$ en la definición de límite y existirá algún $N\in\mathbb{N}$ tal que $\left\|s_n-a\right\| < 1$ para todo $n >N$

Si $B=\max\lbrace 1,\left\|s_1-a\right\|, \left\|s_2-a\right\|, \cdots, \left\|s_N-a\right\|\rbrace$ se tiene que $\left\|s_n-a\right\|\leq B$, es decir, $a-B\leq s_n \leq a+B$ para todo $n\in \mathbb{N}$

Conclusión: la sucesión está acotada

Sucesión monótona

Una sucesión $(s_n)$ es monótona no decreciente si $\forall n \in \mathbb{N}$ se verifica $s_n\leq s_{n+1}$

Una sucesión $(s_n)$ es monótona no creciente si $\forall n \in \mathbb{N}$ se verifica $s_n \geq s_{n+1}$

Una sucesión $(s_n)$ es estrictamente creciente si $\forall n \in \mathbb{N}$ se verifica $s_n < s_{n+1}$

Una sucesión $(s_n)$ es estrictamente decreciente si $\forall n \in \mathbb{N}$ se verifica $s_n > s_{n+1}$

Una sucesión es monótona si se cumple alguno de los casos anteriores

Proposición: equivalencia con convergencia a 0

Si $(s_n)$ es una sucesión acotada y $(t_n)$ es una sucesión convergente a 0, la sucesión $(s_n \cdot t_n)$ converge a 0

Demostración

Sea $\epsilon > 0, K > 0$ tal que $\left\|s_n\right\| \leq K, \forall n \in\mathbb{N}$

Usando la definición de convergencia de $t_n$ para $\frac{\epsilon}{K}$ se tiene que $\left\|s_n \cdot t_n\right\| \leq K \cdot \left\|t_n\right\|\leq K\cdot \frac{\epsilon}{K}=\epsilon$

Conclusión: $(s_n \cdot t_n)$ converge a 0

Proposición: convergente si acotada superiormente o inferiormente

• Sea $(s_n)$ una sucesión monótona no decreciente. Entonces $(s_n)$ es convergente si y sólo si está acotada superiormente, en cuyo caso $\underset {n \to \infty} {\lim} s_n=\sup\lbrace s_n|n\in\mathbb{N}\rbrace$
• Sea $(s_n)$ una sucesión monótona no creciente. Entonces $(s_n)$ es convergente si y sólo si está acotada inferiormente, en cuyo caso $\underset {n \to \infty} {\lim} s_n=\inf\lbrace s_n|n\in\mathbb{N}\rbrace$

Demostración: A

Sea $(s_n)$ una sucesión monótona no decreciente. Si la sucesión converge entonces está acotada (superiormente); esto demuestra una implicación del apartado A

Ahora supongamos que la sucesión está acotada superiormente, sea a su supremo y veremos que la sucesión converge al punto a

Sea $\epsilon > 0$ y como $a-\epsilon < a$, el número $a-\epsilon$ no puede ser una cota superior de la sucesión y por tanto existirá algún $N\in\mathbb{N}$ tal que $a-\epsilon < s_N$

Como la sucesión es no decreciente, para cada $n > N$ se tiene que $a-\epsilon < s_N \leq s_{N+1}\leq \cdots\leq s_n$ y por tanto, $a-\epsilon < s_n < a + \epsilon$

Conclusión: la sucesión converge al punto a

Demostración: B

Sea $(s_n)$ una sucesión monótona no creciente. Si la sucesión converge entonces está acotada (inferiormente); esto demuestra una implicación del apartado B

Ahora supongamos que la sucesión está acotada inferiormente, sea b su ínfimo y veremos que la sucesión converge al punto b

Sea $\epsilon > 0$ y como $b-\epsilon > b$, el número $b-\epsilon$ no puede ser una cota inferior de la sucesión y por tanto existirá algún $N\in\mathbb{N}$ tal que $b-\epsilon > s_N$

Como la sucesión es no creciente, para cada $n < N$ se tiene que $b-\epsilon > s_N \geq s_{N+1}\geq \cdots\geq s_n$ y por tanto, $b-\epsilon > s_n > b + \epsilon$

Conclusión: la sucesión converge al punto b

Proposición: equivalencias de sucesiones convergentes

Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones convergentes con límites $a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n$, $b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n$ y $c \in \mathbb{C}$

• $(s_n + t_n)$ es convergente y tiene límite $a + b$
• $(c \cdot s_n)$ es convergente y tiene límite $c \cdot a$
• $(s_n \cdot t_n)$ es convergente y tiene límite $a \cdot b$
• Si la sucesión $(t_n)$ no contiene términos nulos y $b \not= 0$ entonces $(\frac{s_n}{t_n})$ es convergente y tiene límite $(\frac{a}{b})$

Demostración: A

Sea $\epsilon > 0$
$a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \Rightarrow \exists \omega_1$ tal que $\left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{2}; \forall n > N_1$ con $n, N_1 \in \mathbb{N}$
$b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n \Rightarrow \exists \omega_2$ tal que $\left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon}{2}; \forall n > N_2$ con $n, N_2 \in \mathbb{N}$
Entonces $N > \max\lbrace N_1, N_2 \rbrace$, por tanto si $n > N$ se cumple que $\left\|(s_n + t_n) - (a + b)\right\| \leq \left\|(s_n - a)\right\| + \left\|(t_n - b)\right\|$ < $\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Conclusión: la sucesión $(s_n + t_n)$ es convergente y tiene límite $a + b$

Demostración: B

Si $c = 0$ el resultado es trivial. Por tanto supondremos que $c \not= 0$
$\exists n, N_1 \in \mathbb{N}$ tal que $n > N_1$ entonces $\left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{\left\|c\right\|}$
Entonces $\left\|c \cdot s_n - c \cdot a\right\| = \left\|c\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\| < \frac{\left\|c\right\| \cdot c}{\left\|c\right\|} = \epsilon$

Conclusión: la sucesión $(c \cdot s_n)$ es convergente y tiene límite $c \cdot a$

Demostración: C

Sea $\epsilon > 0$
$a = \underset {n \to \infty} {\lim} s_n \Rightarrow \exists \omega_1$ tal que $\left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon}{2 \cdot \left\|b\right\| + 1}; \forall n > N_1$ con $n, N_1 \in \mathbb{N}$
$b = \underset {n \to \infty} {\lim} t_n \Rightarrow \exists \omega_2$ tal que $\left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon}{2 \cdot K}; \forall n > N_2$ con $n, N_2 \in \mathbb{N}$
Entonces $\left\|s_n \cdot t_n - a \cdot b\right\| = \left\|s_n \cdot t_n - s_n \cdot b - a \cdot b \right\| \leq \left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|b\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\| \leq K \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot K} + \left\|b\right\| \cdot \frac{\epsilon}{2 \cdot \left\|b\right\| + 1} < \epsilon$

Conclusión: la sucesión $(s_n \cdot t_n)$ es convergente y tiene límite $a \cdot b$

Demostración: D

Sea $\epsilon > 0$
$\left\|\frac{s_n}{t_n}-\frac{a}{b}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b - t_n \cdot a}{b \cdot t_n}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b - t_n \cdot a}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| = \left\|\frac{s_n \cdot b + s_n \cdot t_n - s_n \cdot t_n - t_n \cdot a}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| \leq \left\|\frac{\left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|t_n\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\|}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\|$

Entonces $\exists n, N_1\in \mathbb{N}$ tal que si $n > N_1$ se tiene que $\left\|t_n\right\| > \frac{\left\|b\right\|}{2}$

Por ser $s_n$ y $t_n$ sucesiones convergentes $\exists K_1, K_2 > 0; \forall n \in \mathbb{N}$ tales que $\left\|s_n\right\| < K_1$ y $\left\|t_n\right\| < K_2$

Entonces para el límite $s_n$ $\exists n, N_2\in \mathbb{N}$ tal que si $n > N_2$ se tiene que $\left\|s_n - a\right\| < \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_2}$

Entonces para el límite $t_n$ $\exists n, N_3\in \mathbb{N}$ tal que si $n > N_3$ se tiene que $\left\|t_n - b\right\| < \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_1}$

Entonces $n > \max\lbrace N_1, N_2, N_3 \rbrace$, por tanto si $n > N$ se cumple que $\left\|\frac{s_n}{t_n}-\frac{a}{b}\right\| \leq \left\|\frac{\left\|s_n\right\| \cdot \left\|t_n - b\right\| + \left\|t_n\right\| \cdot \left\|s_n - a\right\|}{\left\|b\right\| \cdot \left\|t_n\right\|}\right\| < \frac{k_1 \cdot \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_1} + k_2 \cdot \frac{\epsilon \cdot \left\|b\right\|^{2} }{4 \cdot K_2} }{\frac{\left\|b\right\| \cdot \left\|b\right\|}{2} } = \epsilon$

Conclusión: la sucesión $(\frac{s_n}{t_n})$ es convergente y tiene límite $(\frac{a}{b})$

Proposición: existencia de intervalos acotados en sucesiones convergentes

Sean $(s_n)$ y $(t_n)$ sucesiones convergentes y $\exists m | s_n \leqslant t_n \forall n > m$

Entonces $\underset {n \to \infty} {\lim} s_n \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n$

Demostración

La sucesión $t_n - s_n$ cumple la desigualdad $0 \leqslant t_n - s_n, \forall n > m$ y converge a $\underset {n \to \infty} {\lim} t_n - \underset {n \to \infty} {\lim} s_n$

Sustituimos la desigualdad $0 \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n - \underset {n \to \infty} {\lim} s_n$, por tanto se cumple que $\underset {n \to \infty} {\lim} s_n \leqslant \underset {n \to \infty} {\lim} t_n$

Conclusión: existe el intervalo acotado $s_n \leqslant t_n$ para las sucesiones convergentes $(s_n)$ y $(t_n)$

Teorema de Cantor de los intervalos encajados

Como consecuencia de la proposición de existencia de intervalos acotados en sucesiones convergentes podemos enumera el Teorema de Cantor de los intervalos encajados para que la intersección este formada por un único punto

$\forall n \in \mathbb{N}$, sea $I_n =[ a_n, b_n] \leq \emptyset$ un intervalo cerrado

Supongamos que $I_{n+1}\subseteq I_n$ es decir $a_n\leqslant a_{n+1}\leqslant b_{n+1}\leqslant b_n$ y que además $\underset {n \to \infty} {\lim} \left ( b_n - a_n \right ) = 0$

Entonces $\underset {\in \mathbb{N}} {\bigcap} I_n = \left \{ x \right \}$ donde $x = \underset {n \to \infty} {\lim} a_n = \underset {n \to \infty} {\lim} b_n$

Demostración

Por hipótesis, la sucesión $(a_n)$ es monótona no decreciente y acotada superiormente (por ejemplo $b_1$), por tanto converge a $x\in\mathbb{R}$

Análogamente, la sucesión $(b_n)$ converge a $r\in\mathbb{R}$ y por la proposición anterior $a_n\leqslant x \leqslant r \leqslant b_n, \forall n \in\mathbb{N}$

Sustituimos la condición $\underset {n \to \infty} {\lim} (b_n - a_n) = 0$ que nos asegura que $x = r$ y que $\left \{ x \right \} = \underset {n \in \mathbb{N}} {\bigcap} I_n$

Con lo que queda probado el Teorema de Cantor de los intervalos encajados

Proposición: Regla del sandwich

Sean $(s_n)$, $(t_n)$ y $(u_n)$ y $\exists m \in\mathbb{N} | s_n \leqslant t_n \leqslant u_n, \forall n > m$

Si $(s_n)$ y $(u_n)$ son sucesiones convergentes y $\underset {n \to \infty} {\lim} s_n = \underset {n \to \infty} {\lim} u_n = a$

Entonces $(t_n)$ es también convergente y $\underset {n \to \infty} {\lim} t_n = a$

Demostración

Sea $\epsilon > 0$, por la definición de límite $\exists N_1 \in \mathbb{N}\Rightarrow \text{si }n > N_1 \rightarrow \left \| s_n - a \right \| < \epsilon$

Es decir $a - \epsilon < s_n < a + \epsilon$

Análogamente $\exists N_2 \in \mathbb{N}\Rightarrow \text{si }n > N_2 \rightarrow \left \| u_n - a \right \| < \epsilon$

Entonces si $n > \text{m\'{a}x}\left \{ m, N_1, N_2 \right \}$ se tiene que $a - \epsilon < s_n \leqslant t_n \leqslant u_n < a + \epsilon$ o lo que es equivalente $\left \| t_n -a \right \| < \epsilon$

Con lo que hemos probado la Regla del sandwich

Convergencia

Vamos a tratar la convergencia de sucesiones deducidas linealmente a partir de otras basándonos en el libro de Julio Rey Pastor, Análisis Algebraico

Criterio General

Teorema

Sea $(a_n)$ con $n\geq 1$ una sucesión convergente de límite $\alpha$ y consideramos los coeficientes $(\lambda_{i,n})$ con $n\geq 1, 1\leqslant i\leqslant n$ que verifican:

• $\underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{i,n} = 0, \forall i$
• $\underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \lambda$
• Y si los $\lambda_{i,j}$ no son positivos, además, $\left\|\lambda_{1,n}\right\| + \left\|\lambda_{2,n}\right\| + \cdots + \left\|\lambda_{n,n}\right\| \leqslant K$

Demostración

Dado que $c_n=a_1 \cdot \lambda_{1,n} + a_2 \cdot \lambda_{2,n} + \cdots + a_n \cdot \lambda_{n,n} = \alpha \cdot (\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n}) + (a_1 - \alpha) \cdot \lambda_{1,n} + (a_2 - \alpha) \cdot \lambda_{2,n} + \cdots + (a_n - \alpha) \cdot \lambda_{n,n}$

Si usamos $\underset {n \to \infty} {\lim} a_n = \alpha$, tenemos que dado $\epsilon > 0$, $\exists n_0$ tal que $\left\|a_n - \alpha \right\| < \frac{\epsilon}{3\cdot K}$, $\forall n \geqslant n_0$ con K el valor de la propiedad C)

Por la propiedad A) existirá un valor $n_1$, por lo que tomaremos un valor mayor que $n_0$ tal que $\left\|\lambda_{i,n}\right\| < \frac{\epsilon }{3 \cdot (\left\|a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\|a_{n_0 - 1} - \alpha \right\|) }$, $n\geqslant n_1$ y $1 \leqslant i < n_0$

Por la propiedad B) podemos deducir que existirá $n_2$, por lo que tomaremos un valor mayor que $n_1$ tal que $\left\|\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} - \lambda \right\| < \frac{\epsilon }{3 \cdot \left\| \alpha \right\|}$, $\forall n \geq n_2$

Utilizando los resultados anteriores y la desigualdad triangular tenemos que:

$\left\| c_n - \alpha \cdot \lambda \right\| \leqslant \left\| \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} - \lambda \right\| + \left\| a_1 - \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{1,n} \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0 - 1} - \alpha \right\| \cdot \left\| a{{n_0 - 1},n} \right\| + \left\| a_{n_0} - \alpha \right\| \cdot \left\| a_{{n_0},n} \right\| + \cdots + \left\| a_n - \alpha \right\| \cdot \left\| \lambda_{n,n} \right\| < \left\| \alpha \right\| \cdot \frac{\epsilon}{3 \cdot \left\| \alpha \right\|} + \frac{\epsilon \cdot (\left\| a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0-1} - \alpha \right\|) }{3 \cdot (\left\| a_1 - \alpha \right\| + \cdots + \left\| a_{n_0-1} - \alpha \right\|)} + \frac{\epsilon}{3\cdot K} \cdot(\left\| \lambda_{n_0, n} \right\| + \cdots + \left\| \lambda_{n,n} \right\|) \leq \epsilon$

Aplicando en el último paso la propiedad C), con lo que hemos probado el criterio general

Notas sobre el criterio general

Consideremos una matriz con infinitas filas y columnas, de tal forma que en la fila n-ésima colocamos los valores $(\lambda_{i, n})$ con $1 \leq i \leq n$ y completamos la fila con 0
$A=\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,2} & \lambda_{2,2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,3} & \lambda_{2,3} & \lambda_{3,3} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,4} & \lambda_{2,4} & \lambda_{3,4} & \lambda_{4,4} & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ \lambda_{1,n} & \lambda_{2,n} & \lambda_{3,n} & \lambda_{4,n} & \cdots & \lambda_{n,n} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \end{pmatrix}$

Con esta matriz A, la sucesión $c_n$ definida en la demostración anterior se obtiene como:

$\begin{pmatrix} c_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4\\ \cdots\\ c_n\\ \cdots \end{pmatrix}= A \cdot \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ \cdots\\ a_n\\ \cdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \lambda_{1,1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,2} & \lambda_{2,2} & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,3} & \lambda_{2,3} & \lambda_{3,3} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \lambda_{1,4} & \lambda_{2,4} & \lambda_{3,4} & \lambda_{4,4} & \cdots & 0 & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ \lambda_{1,n} & \lambda_{2,n} & \lambda_{3,n} & \lambda_{4,n} & \cdots & \lambda_{n,n} & 0 & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ \cdots\\ a_n\\ \cdots \end{pmatrix}$

Resulta interesante que la propiedad A) del teorema nos está indicando que cada columna de la matriz A tiende a 0 cuando $n \to \infty$

La propiedad B) nos dice que si sumamos los elementos de cada fila y calculamos el límite de esas sumas, cuando $n \to \infty$, el límite es $\lambda$

Consecuencias del criterio general

Aplicando adecuadamente el criterio general podemos deducir algunos resultados interesantes, algunos de ellos ya conocidos y otros totalmente nuevos

Límite de la media aritmética y la media geométrica de una sucesión

Tomemos $\lambda_{i,n}=\frac{1}{n}$ con $i=1, \cdots, n$

Cuyos coeficientes positivos cumplen A) y $\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} = 1$, luego satisface B) cuando $\lambda = 1$

Si consideramos una sucesión $(a_n)_{n\geq 1}$ con límite $\alpha$, por el criterio general cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} = \alpha$

Es decir, si la sucesión tiene límite, la sucesión de las medias aritméticas de los n primeros términos tienen el mismo límite (Rey Pastor atribuye este resultado a Cauchy)

Además, si $a_n > 0$, tomando logaritmos, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} \sqrt[n]{a_1 + \cdots + a_n} = \exp (\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{\log a_1 + \cdots + \log a_n}{n}) = \exp (\log \alpha ) = \alpha$

Si consideramos una sucesión positiva con límite, la sucesión de las medias geométricas de los n primeros términos tienen el mismo límite

Por último, dada una sucesión $(b_n)_{n\geq 1}$, si le aplicamos el criterio de las medias geométricas tomando $a_1 = b_1$ y $a_n = \frac{b_n}{b_{n-1}}$ (en este caso concreto tenemos que $\sqrt[n]{a_1 + \cdots + a_n} = \sqrt[n]{b_n}$), cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_n}{b_{n-1}} = b \Rightarrow \underset {n \to \infty} {\lim} \sqrt[n]{b_n} = b$

Criterio de Stolz

El criterio de Stolz es un caso particular de convergencia de una serie deducida linealmente de otra

Sea $(b_n)_{n\geqslant 1}$ una sucesión de términos positivos tal que $B_n = b_1 + \cdots + b_n\to \infty, n \to \infty$ y $(a_n)_{n\geqslant 1}$ una sucesión convergente con límite $\alpha$, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{a_1 \cdot b_1 + \cdots + a_n \cdot b_n}{B_n} = \alpha$

Siguiendo el criterio general tomamos $\lambda_{i,n} = \frac{b_i}{B_n}$, para $i = 1, \cdots, n$, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_i}{B_n} = 0$

Por lo que se cumple A) del criterio general y $\lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots + \lambda_{n,n} = \frac{b_1 + \cdots + b_n}{B_n} = 1$, por lo que también se cumple B)

En particular, dada una sucesión $(d_n)_{n\geqslant 1}$ y $(b_n)_{n\geqslant 1}$, tomando el resultado previo $a_n = \frac{d_n}{b_n}$, se deduce que:

$\underset {n \to \infty} {\lim}\frac{d_n}{b_n} = l \Longrightarrow \underset {n \to \infty} {\lim}\frac{d_1 + \cdots + d_n}{b_1 + \cdots + b_n} = l$

Y si tomamos una sucesión $(B_n)_{n\geqslant 1}$ divergente, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim}\frac{D_1 + \cdots + D_n}{B_1 + \cdots + B_n} = l \Longrightarrow \underset {n \to \infty} {\lim}\frac{D_n}{B_n} = l$

Nos bastará con tomar $d_n = D_n - D_{n-1}$ para el caso previo

A este resultado se le conoce como el criterio de Strolz

Consecuencia I

Sean $(a_n)_n{n\geqslant 1}$ y $(b_n)_n{n\geqslant 1}$ dos sucesiones tal que $A_n = a_1 + \cdots + a_n$ y $B_n = b_1 + \cdots + b_n$

Si $\underset {n \to \infty} {\lim}A_n = A$, $\underset {n \to \infty} {\lim} B_n = B$ y $\left\|b_1\right\| + \cdots + \left\|b_n\right\| \leqslant K$, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} A_1 \cdot b_n + A_2 \cdot b_{n-1} + \cdots + A_n \cdot b_1 = A \cdot B$

Este resultado es una consecuencia del criterio general tomando $\lambda_{i,n} = b_{n-i+1}$ con $i = 1, \cdots, n$

Teniendo en cuenta que $\underset {n \to \infty} {\lim}b_{n-i+1} =\underset {n \to \infty}B_{n-i+1} - B_{n-i} = B - B = 0$, lo que implica A)

De la condición $\underset {n \to \infty} {\lim} B_n = B$ se deducen B) y C) (en este caso deberíamos haber comprobado que eran positivos, por eso utilizamos la condición $\left\|b_1\right\| + \cdots + \left\|b_n\right\| \leqslant K$)

Consecuencia II

Sean $(a_n)_n{n\geqslant 1}$ y $(b_n)_n{n\geqslant 1}$ dos sucesiones tal que $\underset {n \to \infty} {\lim}a_n = \alpha$ y $\underset {n \to \infty} {\lim}b_n = \beta$, cumplirá que:

$\underset {n \to \infty} {\lim} a_1 \cdot b_n + a_2 \cdot b_{n-1} + \cdots + a_n \cdot b_1 = \alpha \cdot \beta$

Este resultado es una consecuencia del criterio general tomando $\lambda_{i,n} = \frac{b_{n-i+1}}{n}$

Para comprobar A) debemos observar la convergencia de la sucesión $b_n$ que nos asegura que $\left\|b_n\right\|\leqslant C$, luego $\left\|\lambda_{i,n}\right\|\leqslant \frac{C}{n}\to 0, n\to\infty$

Si aplicamos el criterio de Stolz podemos comprobar B) (también podríamos haber aplicado el criterio de las medias aritméticas):

$\underset {n \to \infty} {\lim} \lambda_{1,n} + \lambda_{2,n} + \cdots +\lambda_{n,n} = \underset {n \to \infty} {\lim} \frac{b_1 + \cdots + b_n}{n} = \underset {n \to \infty} {\lim} b_n = \beta$

La condición C) es otra vez consecuencia de la acotación de la sucesión $b_n$ ya que se cumple que $\left\| \lambda_{1,n} \right\| + \left\| \lambda_{2,n} \right\| + \cdots + \left\| \lambda_{n,n} \right\| \leqslant C \cdot (\frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}) = C$