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El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante de la matemática moderna

Números, Números naturales, Cálculo infinitesimal

Principio de la buena ordenación

Proposición: principio de la buena ordenación

El principio de la buena ordenación que si (\mathbb{N}_0, \leq) es un conjunto bien ordenado (es decir, cualquier subconjunto de \mathbb{N}_0 no vacío) tiene mínimo

Demostración: principio de la buena ordenación

Se va a probar por reducción al absurdo

Supongamos que existe un subconjunto A\subset\mathbb{N}_0, A\not=\emptyset, que no tiene mínimo

Entonces definimos el conjunto S=\{n\in\mathbb{N}_0|n\leq a, \forall a\in A\}

Debemos darnos cuenta de que si n\in A\cap S, tendríamos que n=\text{mín}(S) y hemos supuesto que S no tiene mínimo, por tanto A\cap S=\emptyset

Ahora vamos a probarlo para todo el conjunto usando el axioma de inducción:

Comprobamos que 0\in S
0+a=a entonces 0\leq a, \forall a\in A

\text{Si }n\in S, como A\cap S=\emptyset entonces n < a, \forall a\in A, (por la definición de orden en \mathbb{N}_0) en cada caso existirá un número natural n_a \geq 1 tal que n+n_a=a, con lo cual se cumple siempre que s(n)=n+1\leq n+n_a=a, y por tanto s(n)\in S

Cumpliéndose estas condiciones, el axioma de completitud nos asegura que S=\mathbb{N}_0

Que es un absurdo, ya que A\cap S=\emptyset entonces A=\emptyset, que es claramente una contradicción de la suposición original A\not=\emptyset

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Un modelo de los naturales

Un modelo de los números naturales

Vamos a ver un modelo de los naturales

Una teoría axiomática es consistente cuando no aparece algún tipo de contradicción que hace que los axiomas no tengan sentido

Los axiomas de Peano introducen los números naturales a partir de la teoría de conjuntos. Tras exponer los axiomas, se han dado algunas definiciones adicionales (la suma, el producto y el principio de buena ordenación). Pero ¿son consistentes los axiomas de Peano? Es decir ¿existe un modelo basado en el modelo de conjuntos que cumpla los axiomas de Peano? Vamos a ver cómo construir un modelo de los números naturales a partir de la teoría de conjuntos

Nota si disponemos de un modelo, estaríamos reduciendo la consistencia de los números a la de la teoría de los conjuntos ¿Y la teoría de conjuntos es consistente? En algún momento hay que dejar de descender, y hay que asumir algo como cierto sin posibilidad de que sea demostrado. Kurt Gödel probó en 1930 sus famosos teoremas de incompletitud, que de forma simplificada afirman lo siguiente:

  • Primer teorema de incompletitud
    En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema
  • Segundo teorema de incompletitud
    Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo

Estos resultados fueron muy negativos para la aproximación filosófica a las matemáticas, propuesta por David Hilbert, conocida como programa de formalización de Hilbert. Que había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se tenía que probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica

Con su primer teorema, Gödel demostró que la aritmética es incompleta, y de ese modo será imposible que pueda ser usada para demostrar la consistencia de cualquier sistema de axiomas. El paraíso ideado por Hilbert no existía, era una utopía

Dejemos la lógica y volvamos a los números naturales. Un modelo de los axiomas de Peano sería una tripleta (\mathbb{N},0,s) con \mathbb{N} un conjunto, 0\in \mathbb{N}, s|\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} una aplicación que satisficiera dichos axiomas. No es difícil ver que si tenemos dos modelos, deben ser el mismo, ya que dados dos modelos (\mathbb{N}_A, 0_A, s_A) y (\mathbb{N}_B, 0_B, s_B) de los axiomas de Peano, la aplicación f|\mathbb{N}_A\rightarrow \mathbb{N}_B definida mediante:

\begin{cases}f(0_A)=0_B \\ f(s_A(n))=s_B(n) \end{cases}

es una biyección. Ya que tenemos que, sólo puede haber un modelo de los axiomas de Peano ¡Pero aún no hemos definido ninguno!

Los lógicos Gottlob Fregge y Bertrand Russell construyeron modelos de los axiomas de Peano basándose en la idea intuitiva de que un número natural es el cardinal de un conjunto. Es decir, cada número natural es la «esencia» que comparten los conjuntos biyectivos (y finitos) cuyo número cardinal es ese número cardinal. Entonces un número natural se definiría como la case de equivalencia de esos conjuntos; además el cero se corresponde con el conjunto vacío (en realidad, su clase de equivalencia) y s aplicado a un conjunto consiste en añadirle un elemento que no este en el conjunto (para cada conjunto de la clase de equivalencia). Sin embargo, esta idea tiene dificultades lógicas serias, pues, según las leyes de la axiomática de Zermelo-Fraenkel en que se basa la matemática actual, dicho de manera informal: «el conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto», las clases de equivalencia de conjuntos biyectivos tampoco forman un conjunto

El modelo que se usa habitualmente es el del matemático húngaro nacionalizado estadounidense, János von Neumann, quien no sólo hizo importantes contribuciones en multitud de campos de la matemática, sino en la informática con la arquitectura de von Neumann, usada actualmente en los ordenadores y en la fabricación de la primera bomba atómica

El modelo ideado por von Neumann comienza con la definición de 0 como el conjunto vacío (\emptyset), y además se define un operador s actuando sobre los conjuntos mediante s(A)=A\cup(A)

Se define el conjunto de los números naturales \mathbb{N}_0, como la intersección de todos los conjuntos cerrados bajo la acción de s (es decir, de todos los conjuntos C tales que s(C)\subset C) que contienen al conjunto vacío. Cada número natural (entendido como un conjunto), es el conjunto de los números naturales menores que él:

\scriptsize\begin{cases}0=\emptyset \\ 1=s(0)=\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}=\{0\} \\ 2=s(1)=\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}=\{0,1\} \\ 3=s(2)=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\cup\{\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}=\{0,1,2\} \\ \cdots \\ n=s(n-1)=\cdots=\{1,2,3,\cdots,n\} \end{cases}

El conjunto \mathbb{N}_0, junto con 0 y la función «siguiente» s|\mathbb{N}_0\rightarrow\mathbb{N}_0, satisface los axiomas de Peano

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Operaciones de los naturales

Operaciones de los números naturales

Vamos a ver las operaciones de los naturales

Con los axiomas de Peano y con el cero como primer elemento de \mathbb{N}_0, introducimos la notación de los demás:

\begin{cases}s(0)\text{ que lo llamamos 1} \\ s(1)\text{ que lo llamamos 2} \\ \cdots \\ s(n-1)\text{ que lo llamamos n}\end{cases}

Operación suma

La suma o (adición) en \mathbb{N}_0 es una operación que +|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

\begin{cases}a+0=a \\ a+s(b)=s(a+b) \end{cases}

Propiedades de la suma

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

  • Propiedad asociativa para la suma
    a+(b+c)=(a+b)+c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a+b+c)
  • Propiedad conmutativa para la suma
    a+b=b+a
  • Elemento neutro de la suma
    0\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a+0=a; \forall a\in\mathbb{N}_0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a+b=0
  • Propiedad de cancelación (simplificación) en la suma
    \text{Si }a+c=b+c\rightarrow a=b

Operación producto

El producto o (multiplicación) en \mathbb{N}_0 es una operación que \cdot|\mathbb{N}_0\rightarrow \mathbb{N}_0 que se define recursivamente como:

\begin{cases}a\cdot 0=0 \\ a\cdot s(b)=a+a\cdot b \end{cases}

Propiedades del producto

Dados a, b, c\in\mathbb{N}_0 se cumplen:

  • Propiedad asociativa para el producto
    a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c (como consecuencia de la propiedad anterior, no hace falta indicar los paréntesis y puede escribirse a\cdot b\cdot c)
  • Propiedad conmutativa para el producto
    a\cdot b=b\cdot a
  • Elemento neutro del producto
    1\in\mathbb{N}_0,\forall a\in\mathbb{N}_0|a\cdot 1=a; \forall a\in\mathbb{N}_0,a\not=0, \exists b\in\mathbb{N}_0|a\cdot b=1
  • Propiedad de cancelación (simplificación) en el producto
    \text{Si }a\cdot c=b\cdot c\text{ con }c\not= 0\rightarrow a=b

Operación suma y producto

Además suma y producto comparten la siguiente propiedad:

Propiedad de la suma y el producto

  • Propiedad distributiva del producto respecto a la suma
    \text{Si }a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

Nota si hubiésemos optado por representar los naturales sin el cero, en los axiomas de Peano bastaría cambiar \mathbb{N}_0 por \mathbb{N} y 0 por 1. Ya que el primer axioma sólo sirve para asegurar que \mathbb{N}_0 no es el conjunto vacío, y el nombre que se le de al primer elemento, no es relevante en su definición. Cuando si toma relevancia es cuando se definan las operaciones suma y producto. Si se construyen los naturales empezando en 1, la definición de la suma se comienza por a+1=s(a), y la del producto por a\cdot 1=a

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Números enteros

Números enteros

Con los naturales podemos sumar números, pero no siempre podemos restar. Usaremos los números enteros para poder restar cualquier pareja de naturales

A pesar de que los números naturales parecen evidentes, a los matemáticos les costó mucho tratar a los números negativos con igualdad a los positivos. Históricamente, el uso de los números negativos es muy posterior al uso de fracciones o incluso de los irracionales positivos

Un ejemplo de las complicaciones provenientes de los números negativos, tanto para el griego Diofanto como para los algebristas europeos del Renacimiento, una ecuación del tipo x^2+b\cdot x+c=0 (en la que para nosotros los parámetros b y c pueden ser tanto positivos como negativos y el método de resolución sigue siendo el mismo) no era única, sino que debía ser analizada en cuatro casos \begin{cases}x^2+b\cdot x+c=0 \\ x^2+b\cdot x=c \\ x^2+c=b\cdot x \\ x^2=b\cdot x+c \end{cases} distintos, con b y c siempre positivos (incluso más casos si permitimos la posibilidad que b o c valgan cero) y cada uno de los casos tenía su propio método de resolución

Nota: la notación x^n tiene sentido habitual x^n=\underbrace{x\cdots x}_{\text{n veces}}, \forall n \in\mathbb{N} y x pertenece a cualquiera de los conjuntos de números que consideremos (naturales, enteros, racionales y reales). Además cuando n=0 tenemos que x^0=1

Fue el matemático holandés Simon Stevin, a finales del siglo XVI, el primero que reconoció la validez de los números negativos al aceptarlos como resultado de los problemas con que trabajaba. Además, reconoció la igualdad entre la sustracción de un número positivo y la adición de un número negativo (es decir, a−b=a+(−b), con a, b > 0). Por esta razón, igual que se considera a Brahmagupta como padre del cero, Stevin es considerado como el padre de los números negativos (de hecho, Stevin hizo muchas más contribuciones al mundo de los números, en el campo de los números reales)

En \mathbb{N}_0 podemos sumar números, pero no siempre podemos restar. Por eso surge la necesidad de crear un nuevo conjunto de números con los que poder restar cualquier pareja de números naturales; este nuevo conjunto es el de los números enteros y se denota como \mathbb{Z}

Es totalmente elemental comprobar que esta relación es de equivalencia, y eso nos permite definir los números enteros como el conjunto cociente \mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0/\sim

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Diferencias naturales y enteros

Diferencias naturales y enteros

Diferencias entre los naturales y enteros:

El conjunto de los enteros no es un conjunto bien ordenado (ya que el subconjunto de los enteros negativos no tiene mínimo)

Cualquier subconjunto no vacío de \mathbb{Z} acotado inferiormente tiene mínimo (y multiplicado por (-1), si es acotado superiormente, tiene máximo)

Al multiplicar enteros hemos de distinguir entre positivos y negativos, aplicando la denominada regla de los signos:

\begin{cases} \text{positivo }\cdot\text{positivo = positivo} \\ \text{positivo }\cdot\text{negativo = negativo} \\ \text{negativo }\cdot\text{positivo = negativo} \\ \text{negativo }\cdot\text{negativo = positivo} \end{cases}

El orden de \mathbb{Z} es un orden total, pero hay que destacar que cualquier número negativo es menor que cualquier positivo. Además hay que tener en cuenta estas propiedades para las operaciones:

\tiny\begin{cases} a \leq b \Rightarrow a + c \leq b + c \\ a \leq b, c \geq 0 \Rightarrow a \cdot c \leq b \cdot c \\ a \leq b, c < 0 \Rightarrow a \cdot c \geq b \cdot c & \text{si multiplicamos por un n}\acute{u}\text{mero negativo} \end{cases}

Tenemos a nuestra disposición la función valor absoluto (ó modulo):

\|a\|=\begin{cases} a & \text{if } a \geq 0 \\ (-a) & \text{if } a < 0 \end{cases}

A partir de la función valor absoluto y gracias a sus implicaciones geométricas, también tenemos a nuestra disposición la Desigualdad triangular:

\|a + b\| \leq \|a\| + \|b\|
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Operaciones de los enteros

Inclusión de los números naturales en los enteros

Vamos a ver las operaciones de los enteros

\mathbb{N}_0 se incluye en \mathbb{Z} asociando a cada a\in\mathbb{N}_0 la clase de equivalencia de (a, 0)

El número natural 0 en \mathbb{Z} es (0, 0), que es la clase de equivalencia dada por \{(a, a) | a \in\mathbb{N}_0\}, que es el elemento de la suma en \mathbb{Z}

El natural 1 en \mathbb{Z} es (1, 0), y su clase de equivalencia, que es el elemento neutro del producto en \mathbb{Z}

A diferencia de en \mathbb{N}_0, en \mathbb{Z}, dado un número, siempre se puede encontrar otro que sumado al primero dé cero (el elemento neutro de la suma). Si tenemos (a, b), basta tomar (b, a) y se cumple:

(a, b)+(b, a)=(a + b, a + b)\sim (0, 0)

Este número (b, a), que es el opuesto de (a, b), y lo denotamos como -(a, b). Lo que nos permite definir la resta:

(a, b) - (c, d)=(a + b) + (-(c, d))=(a, b)+(d, c)=(a + d, b + c)

O de forma equivalente:

(a, b) - (c, d)=(r + s) \Longleftrightarrow (a, b)=(r, s) + (c, d)

Operación suma

Dado que (a, b) es la manera que tenemos en \mathbb{Z} de indicar la resta a-b y del mismo modo, (c, d) representa c-d, no hay más que pensar en (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d) para dar una definición adecuada de la suma:

(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)

Operación producto

De forma similar, para definir el producto tenemos que (a-b)\cdot(c-d)=(a\cdot c + b\cdot d)-(a\cdot d+b\cdot c), con lo que la definición adecuada para el producto:

(a,b)\cdot (c,d)=(a\cdot c+b\cdot d, a\cdot d+ b\cdot c)

Relación de equivalencia

Para que las definiciones en \mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0 dadas anteriormente sean válidas en \mathbb{Z}=\mathbb{N}_0\times\mathbb{N}_0/\sim, tenemos que probar que son compatibles con la relación de equivalencia, es decir que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2, b_2)\text{ y }(c_1,d_1)\sim(c_2, d_2) se cumple que:

\begin{cases} (a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2) \\ (a_1,a_1)\cdot(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)\cdot(c_2,d_2) \end{cases}

Relación de orden

También hay que definir la relación de orden en \mathbb{Z}. Para definir cuándo (a,b)\leq(c,d), pensemos una vez más en (a,b) como en \displaystyle a-b y en (c,d) como c-d. Entonces basta fijarse en que a-b\leq c-d equivale a a+d\leq b+c para darse cuenta de que la definición que buscamos tiene que ser (a,b)\leq (c,d)\Leftrightarrow a+d\leq b+c

Como en la suma y el producto, hay que comprobar la compatibilidad de esa definición con la relación de equivalencia, es decir, que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2,b_2)\text{ y }(c_1,d_1)\sim(c_2,d_2), se cumple que:

(a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2)
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Números racionales

Números racionales

La extensión de los números enteros, \mathbb{Z}, a los números racionales \mathbb{Q}, tiene un claro paralelismo con la extensión de \mathbb{N}_0 a \mathbb{Z}. Como no podíamos restar en \mathbb{N}_0, nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo. Ahora nos encontramos el problema de que no siempre podemos dividir en \mathbb{Z}, y nos inventamos un nuevo tipo de números para conseguirlo

Para definir \mathbb{Z} tomábamos pares de números naturales, y aplicábamos una relación de equivalencia. La definición de \mathbb{Q} sigue los mismos pasos, pero una de manera aún más clara: los números racionales van a ser pares de números enteros, que se corresponden con el numerador y el denominador de cada fracción; además hay que tomar clases de equivalencia para identificar las fracciones que representan al mismo número

Como el denominador de una fracción no puede ser nulo, en lugar de tomar \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, se toma el conjunto:

\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\left\{0\right\})=\left\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Z} \quad b \not= 0\right\}

y en él definimos la relación \sim dada por:

(a, b)\sim (c, d) \Longleftrightarrow a\cdot d = b\cdot c

que se puede demostrar con facilidad, que es de equivalencia

(a, b) y (c, d) acabarán siendo, respectivamente los racionales \frac{a}{b} y \frac{c}{d}; aún no se puede hablar de la igualdad \frac{a}{b}=\frac{c}{d} (pues esas fracciones aún no existen), pero si tuviera sentido equivaldría a decir que a\cdot d = b\cdot c, que es lo que estamos utilizando para definir la relación de equivalencia

Ahora definimos \mathbb{Q} como el conjunto cociente:

\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\})/\sim
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Operaciones de los racionales

Inclusión de los números enteros en los racionales

Vamos a ver las operaciones de los racionales

\mathbb{Z} se incluye en \mathbb{Q} asociando a cada a\in\mathbb{Z} la clase de equivalencia de (a, 1)

Siendo la suma y el producto en \mathbb{Q} las extensiones de las de \mathbb{Z}

Además, dado que (-a, -b)\sim(a, b), y como por definición b\not= 0, siempre que tomemos (a, b) en \mathbb{Q}, podemos asumir que b > 0 (es decir, que los denominadores de las fracciones pueden imponerse como positivos)

Operación suma

Se define con las reglas de las fracciones, cuando tenga sentido:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}

y para lograrlo la definición formal ha de ser:

(a, b) + (c, d) = (a \cdot d + b\cdot c, b\cdot d)

Operación producto

Se define con las reglas de las fracciones, cuando tenga sentido:

\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b \cdot d}

y para lograrlo la definición formal ha de ser:

(a, b) \cdot (c, d) = (a \cdot c, b\cdot d)

Relación de equivalencia

Para que las definiciones en \mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash\left\{0\right\}) dadas anteriormente sean válidas en \mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\})/\sim, tenemos que probar que son compatibles con la relación de equivalencia, es decir que si tenemos (a_1,b_1)\sim(a_2, b_2) y (c_1,d_1)\sim(c_2, d_2) se cumple que:

\begin{cases} (a_1,b_1)+(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)+(c_2,d_2) \\ (a_1,a_1)\cdot(c_1,d_1)\sim(a_2,b_2)\cdot(c_2,d_2) \end{cases}

Relación de orden

También hay que definir la relación de orden en \mathbb{Q}. Para ello tenemos que expresar la aún inexistente desigualdad \frac{a}{b}\leq \frac{c}{d} en términos de desigualdades con enteros, pero como podemos suponer que b > 0 y d > 0, es equivalente a a \cdot d \leq c \cdot b (esta desigualdad es obtenida de la que queríamos obtener multiplicando b \cdot d y como hemos supuesto que los denominadores son positivos, hace que la desigualdad no cambie de sentido). Entonces definimos:

(a, b) \leq (c, d) \Longleftrightarrow a \cdot d \leq c\cdot b \quad (b, d > 0)

Se puede demostrar que esta relación es de orden, que es compatible con la relación de equivalencia (la hemos usado al definir \leq solo para denominadores positivos) y extiende la de \mathbb{Z}. Como en \mathbb{Z}, la relación de orden en \mathbb{Q} es total, y también tenemos números positivos y negativos

Nota Una vez que ya hemos hecho una buena definición de los números racionales, podemos desprendernos de la notación auxiliar (a, b) para emplear a partir de ahora, la habitual \frac{a}{b} ó a / b, donde a se llama numerador y b denominador (como se ha dicho anteriormente, se puede suponer que b es siempre positivo). Además, en vez de usar \frac{a}{1}, podemos usar simplemente a. Y en vez de usar la relación de equivalencia como (a, b)\sim (c, d) usaremos \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

Nota En cada clase de fracciones equivalentes de \mathbb{Q}, existe una fracción que se suele tomar como representante. Es la denominada irreducible, en la que el máximo común divisor del numerador y el denominador vale 1. Aunque es elemental, tendríamos que haber desarrollado algo más la aritmético en \mathbb{N}_0 para poderlo introducirlo aqui

Operación división

Las propiedades de la suma y el producto en \mathbb{Z} (asociatividad, conmutatividad, elementos neutros, distributividad, etc) se extienden a \mathbb{Q}, además, el orden es estable con las operaciones en el mismo sentido que en \mathbb{Z}. Pero tenemos una novedad con respecto a \mathbb{Z}, podemos dividir

Para cualquier \frac{a}{b}\in \mathbb{Q} no nulo, podemos encontrar un inverso respecto al producto. Dado que:

\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{a\cdot b}{b \cdot a}=\frac{1}{1}=1

La notación para el inverso de \frac{a}{b} es (\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}

Gracias al inverso podemos dividir por un racional no nulo. Dividir \frac{a}{b} entre \frac{c}{d} consiste en encontrar un número racional tal que \frac{a}{b} multiplicado por ese racional de \frac{c}{d}; esta operación es inmediata, basta multiplicar \frac{a}{b} por el inverso de \frac{c}{d}:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot(\frac{c}{d})^{-1}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

La existencia de inverso en el producto (y por tanto de división) hace que la estructura algebraica de \mathbb{Z} (que es un anillo) se quede corta, y que \mathbb{Q} con la suma y el producto pasa a ser un cuerpo. Además, la estructura de orden es estable con las operaciones, es decir, dados x, y, t \in \mathbb{Q} se cumple que:

\begin{cases}x\leq y \Rightarrow x+t \leq y + t \\ x\leq y, t \geq 0 \Rightarrow t\cdot x \leq t\cdot y \end{cases}
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Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana

Propiedad arquimediana:

Sea x \in \mathbb{Q}, x > 0. Entonces para cualquier y \in \mathbb{Q} existe n \in \mathbb{N}_0 tal que n\cdot x > y

Demostración: propiedad arquimediana

Si y \leq 0 el resultado es trivial, pues basta tomar n = 1. Asumimos que y > 0. Queremos probar que existe n \in \mathbb{N}_0 que cumple n > \frac{y}{x}

El cociente de números racionales \frac{y}{x} será un número racional \frac{a}{b} con a y b enteros positivos. Así pues, n > \frac{y}{x}=\frac{a}{b} equivale a decir n \cdot b > a Y eso se consigue tomando n = a + 1 ya que:

(a + 1)\cdot b = a\cdot b + b \geq a + b \geq a + 1 > a

que es justo lo que pretendíamos

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Números reales

Números reales

Los números reales completan lo que ya hacían los números racionales

Los números racionales \mathbb{Q}, nos ofrecen ya muchas posibilidades. Pero en seguida puede uno darse cuenta de que no son suficientes para alguna de las tareas que uno desearía encomendar a los números: medir unidades. De hecho, fueron los pitagóricos en el siglo IV A. C. los que observaron esa importante carencia de los números racionales, lo que supuso una enorme crisis en la concepción de las matemáticas que ellos tenían

La idea de los pitagóricos era que todo se tenía que reducir a proporciones numéricas; y tales proporciones equivaldrían a nuestras fracciones. Posiblemente, su profunda decepción fue fruto de su descubrimiento de que la diagonal del cuadrado era inconmensurable con la longitud, es decir, que la diagonal no se puede expresar como un número racional de veces la longitud del lado

La longitud de la diagonal de un cuadrado se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y su fórmula:

c^2=a^2+b^2

donde a y b son los catetos y c su hipotenusa

Existen muchas demostraciones del teorema de Pitágoras y de muy distinta naturaleza por el tipo de técnicas que utilizan

Una de las más modernas es la basada en un argumento de áreas, publicada en la revista The New England Journal of Education y debida al vigésimo presidente de Estados Unidos James A. Garfield

Hay tres métodos usados habitualmente para definir los números reales \mathbb{R}, a partir de los racionales \mathbb{Q}, y los tres tienen su origen en el siglo XIX, que es cuando el análisis matemático alcanzó el rigor que se exige en la actualidad. Estos métodos son los siguientes:

  • Cortaduras de Dedekind
  • Clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales
  • Clases de equivalencia de pares de sucesiones monótonas convergentes

Los números reales \mathbb{R}, son un cuerpo con una relación de orden verificando el axioma de completitud (también denominado axioma del supremo): todo conjunto acotado superiormente posee supremo

Es decir, los números reales son un conjunto con dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden cumpliendo exactamente las mismas propiedades que en el caso de los racionales. La única diferencia entre los reales y los racionales, es que para los primeros se cumple el axioma de completitud

Un número real que no sea racional lo denominaremos irracional

Esta definición de los números reales simplemente mediante axiomas es engañosa, ya que, sin una construcción formal a partir de conceptos previos, nada garantiza que exista ese modelo de definición axiomática. Intentaremos construirla mediante las cortaduras de Dedekind y su unicidad. También se comentará algo de los otros dos métodos

Proposiciones

Para las propiedades en las que intervienen \mathbb{Z} y \mathbb{Q} no vamos a dar todos los detalles de las demostraciones, sólo alguna indicación de como plantearlas. La que sí se va a desarrollar es la de la propiedad Arquimediana, dada su gran importancia y utilidad

Proposición 1: Propiedad Arquimediana

Sea x\in\mathbb{R}, x > 0. Entonces \forall y\in\mathbb{R}, \exists n\in\mathbb{N}_0\Rightarrow n\cdot x > y

Demostración de la Proposición 1

Si y \leq 0, si tomamos n = 1 no hay nada que probar. Si y > 0 lo probaremos por reducción al absurdo

Supongamos que n\cdot x \leq y para todo n\in\mathbb{N}_0 y consideramos el conjunto S=\{n\cdot x | n \in\mathbb{N}_0\}. El conjunto S, que es distinto de vacío, está acotado superiormente (por y), luego por el axioma de completitud posee supremo

Sea s=\text{ sup }S, como x > 0 entonces s - x < s, por la definición de supremo s - x no puede ser cota superior de S. Por tanto existirá algún elemento de S de la forma m \cdot x, con m\in\mathbb{N}_0 tal que s - x < m \cdot x

Pero esto implica que s < (m+1) \cdot x y obviamente (m+1) \cdot x \in S, con lo que s no es cota superior de s, con lo que llegamos a una contradicción con el hecho de que sea el supremo de S, probando así, la propiedad arquimediana por reducción al absurdo

Proposición 2

Tomando x = 1 tenemos que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Y puede probarse fácilmente con la propiedad arquimediana

Proposición 3

\forall \epsilon\in\mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n\in\mathbb{N}\Rightarrow \frac{1}{n} < \epsilon

Considerando y=1 y x=\epsilon > 0 podemos probar la proposición usando la propiedad arquimediana y nos resultará de gran utilidad cuando estudiemos límites de sucesiones

Proposición 4

Si \alpha, \beta \in \mathbb{R} que cumplen \beta - \alpha > 1 entonces \exists k\in\mathbb{Z} que cumple \alpha < k < \beta

Para probar esta proposición bastará con tomar \alpha como el mayor entero que satisface \alpha\leq\alpha y considerar k=a+1, que se cumplirá que \alpha < k < \beta

Dado \alpha\in\mathbb{R} el mayor entero a tal que a \leq \alpha < a+1, se denomina parte entera de \alpha y se denota por \mid\alpha\mid

Para ser absolutamente rigurosos, debemos probar la existencia y la unicidad de dicho valor

Proposición 5

Dado \alpha\in\mathbb{R}, \exists a \in\mathbb{N} único tal que a\leq\alpha < a+1

También puede demostrarse apoyándose en la propiedad arquimediana

Proposición 6

Se cumple lo siguiente:

  • Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists r\in\mathbb{Q}\Rightarrow\alpha < r < \beta
  • Sean r, s \in\mathbb{Q} con r < s. Entonces \exists \alpha\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow r < \alpha < s
  • Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists \Upsilon\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow \alpha < \Upsilon < \beta

La primera parte se deduce con la proposición 3: \exists n\in\mathbb{N} con \frac{1}{n} < \beta - \alpha de donde n\cdot\beta - n\cdot\beta > 1 y por la proposición 4: \exists k \in \mathbb{Z} con n\cdot\alpha < k < n\cdot \beta. Tomamos r=\frac{k}{n}

La segunda parte basta con usar que existe un irracional entre 0 y 1 (o entre cualquier otra pareja fija de racionales), desplazar y escalar

La tercera parte es consecuencia de las dos anteriores (entre \alpha y \beta podemos intercalar racionales dos veces)