Números

Los números deben ser construidos con el rigor exigido por las matemáticas y no únicamente con nuestra intuición

Por ello necesitamos construirlos a partir de conceptos y propiedades primitivas, porque como dijo Leopold Kronecker:

Dios hizo los números naturales; todo lo demás es obra del hombre

Partiendo de una matemática «básica» existe un concepto denominado conjunto y cada conjunto está constituido por una colección de elementos (que son únicos y distintos entre sí) los cuales pertenecen al conjunto. En el caso de que en el conjunto no aparezca ningún elemento, tendremos un conjunto vacío y se denota por $\emptyset$

En caso de no ver claro la necesidad lógica de introducir los números, se sugiere tratar de responder la sencilla pregunta de ¿qué es un número? y trate de responderla de forma intuitiva

Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema de números, nos encontramos con de las fracciones. Sólo las fracciones unitarias (inversas de los naturales $\frac{1}{20}$) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción $\frac{2}{3}$ que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo $\frac{n}{n+1}$. Hay tablas de descomposición de $\frac{2}{n}$ desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo $\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$ ó $\frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$, pero no se sabe por qué no utilizaban $\frac{2}{n}=\frac{1}{n}+\frac{n+1}{n}$ pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que $\frac{1}{n}$

Al ser un sistema sumativo la notación es: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$. La operación fundamental es la suma y nuestra multiplicación y división se hacía por «duplicación» y «mediación», por ejemplo $69\cdot 19=69\cdot (16+2+1)$, donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación

Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, una extensión de las fracciones, pero XXX vale para $2\cdot 60+2, 2+2\cdot 60-1$ ó $2\cdot 60-1+2\cdot 60-2$ con una representación basada en la interpretación del problema

Para calcular recurrían a las numerosas tablas de que disponían: de multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera $a_1$, y calculaban $b_1=\frac{a}{a_1}$ (una mayor y otra menor) y entonces $a_2=\frac{(a_1+b_1)}{2}$ es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos $b_2=\frac{a}{a_2}$ y $a_3=\frac{(a_2+b_2)}{2}$ obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de $a_3$ partiendo de $a_1=1;30$

Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están $\frac{1}{59}=;1,1,1$ (nuestro $\frac{1}{9}=0,\stackrel{\frown}{1}$) y $\frac{1}{61}=;0,59,0,59$ (nuestro $\frac{1}{11}=0,\stackrel{\frown}{09}$) pero no se percataron del desarrollo periódico

Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Si denotamos un conjunto usando X, la expresión $\displaystyle x\in X$ significa que el elemento x pertenece al conjunto X; y que $\displaystyle x\notin X$ que no pertenece

Una notación común es señalar los elementos de un conjunto entre llaves, $\displaystyle X=\{a,b,c\}$ ó $\displaystyle X=\{x| x\text{ cumple una determinada propiedad}\}$ dónde el símbolo se lee como tal que

Dados dos conjuntos X, Y, su intersección $\displaystyle X\cap Y$ y su unión $\displaystyle X\cup Y$ son dos nuevos conjuntos definidos mediante:

$\displaystyle X\cap Y=\{a|a\in X\cap a\in Y\}$
$\displaystyle X\cup Y=\{a|a\in X\cup a\in Y\}$

Si todos los elementos de un conjunto X están en otro conjunto Y, se dice que X es subconjunto de Y y se denota cómo $\displaystyle X \subset Y\text{ o }X \subseteq Y$; su negación se denota cómo $\displaystyle X \not\subset Y\text{ o }X \not\subseteq Y$

Si todos los elementos de un conjunto X son iguales a los de otro conjunto Y, lo cual sucede cuando $\displaystyle X \subseteq Y\text{ y }Y \subseteq X$, se dice que X es igual a Y y se denota cómo X=Y; su negación se denota cómo $\displaystyle X \not\subseteq Y\text{ o }X \neq Y$

Cuando $\displaystyle X \subset Y$, el conjunto de elementos de Y que no están en X se denota cómo $\displaystyle Y \backslash X =\{a| a\in Y\cap a\not\in X\}$

En algunos casos, el conjunto Y es una especie de conjunto total presente implícitamente, en esos caso tenemos un conjunto complementario de X, que tiene el mismo significado que $\displaystyle Y \backslash X$

Se podría seguir ahondando en la teoría de conjuntos para conseguir más rigor y profundidad, pero hay dos conceptos importantes en los que vamos a hacer hincapié: las relaciones y las aplicaciones

Relaciones

Las relaciones relacionan dos o más conjuntos

Dados dos conjuntos X e Y, su producto cartesiano se denota como $X x Y=\{(x, y)|x\in X, y\in Y\}$ dónde $(x, y)$ denota a un par ordenado formado por x e y (esta generalización de producto cartesiano se puede aplicar a más de dos conjuntos)

Un subconjunto XxY se denomina relación

Cuando tenemos $\mathbb{R}\subset X x X$ una relación en X, dónde $(a, b)\in \mathbb{R}$ se suele denotar aRb. Estas relaciones pueden cumplir las siguientes propiedades:

• Propiedad reflexiva cuando todos los $a \in X$ cumplen aRa
• Propiedad simétrica si se cumple aRb también se ha de cumplir bRa (se puede denotar de forma abreviada cómo $a R b\Rightarrow b R a$)
• Propiedad transitiva si se cumple aRb y bRc entonces se ha de cumplir que aRc (se puede denotar de forma abreviada cómo $a R b, a R c\Rightarrow a R c$)

Una relación que cumpla estas tres propiedades se denomina relación de equivalencia. En lugar de utilizar R, para denotarlas se utiliza $\sim$

El ejemplo más sencillo de relación de equivalencia es la relación de igualdad (cada elemento está relacionado sólo consigo mismo). Y si en una relación de equivalencia identificamos los elementos relacionados, obtendremos una especie de igualdad

Suponemos que en X tenemos una relación de equivalencia $\sim$, agrupamos cada elemento $a\in R$ con todos los que están relacionados con él. De esta forma obtenemos para cada a el siguiente conjunto: $\hat{a}=\{x \in X| a \sim x\}$. A este conjunto se le denomina clase de equivalencia de a

Si tenemos dos elementos $a, b\in X$, sus respectivas clases de equivalencia $\hat{a}$ y $\hat{b}$ son iguales $(\hat{a} =\hat{b})$ o disjuntas $(\hat{a}\cap\hat{b} = \emptyset)$, las distintas clases de equivalencia forman lo que se denomina partición de X (por definición, una partición de un conjunto es una serie de subconjuntos que son disjuntos dos a dos y cuya unión da lugar al conjunto)

El conjunto de clases de equivalencia es un nuevo conjunto que se denomina conjunto cociente y se denota: $\displaystyle X\backslash\sim=\{\hat{a}|a\in X\}$

Si $a, b \in X$ cumplen $a \sim b$, sus clases de equivalencia serán $\hat{a} = \hat{b}$ y por tanto son el mismo elemento en $X\backslash\sim$

Si no se cumple la propiedad simétrica, puede cumplirse esta otra:

Una relación R reflexiva, antisimétrica y transitiva se denomina relación de orden, y es habitual denotarla mediante $\leq$; se dice que $(X, \leq)$ es un conjunto ordenado. Con el mismo significado que $a\leq b$ también se emplea $b\geq a$; si además de $a\leq b$ queremos asegurar que a=b, se puede usar $a < b \text{ o }b > a$

En un conjunto ordenado, si siempre se cumple que $a\leq b\text{ o }b\leq a$, se denomina orden total; en otro caso nos encontramos ante un orden parcial

Cuando S es un subconjunto ordenado de X, decimos que $x \in X$ es una cota superior de S si $x \geq t$ para cualquier $t \in S$. Si existe a, la menor de las cotas superiores y se le llama supremo de S; si el supremo está en S, se dice que es el máximo de S

Cuando S es un subconjunto ordenado de X, decimos que $x \in X$ es una cota inferior de S si $x\geq t$ para cualquier $\displaystyle t \in S$. Si existe a, la mayor de las cotas inferiores y se le llama ínfimo de S; si el ínfimo está en S, se dice que es el mínimo de S

Un conjunto bien ordenado (o que cumple el principio de buena ordenación), es un conjunto ordenado tal que todo subconjunto no vacío tiene mínimo

Aplicaciones

Una aplicación es una regla que dados dos conjuntos X e Y, a cada elemento de X se le asocia un elemento de Y (y sólo uno)

Si a esa regla la denominamos f, esto se denota como: $f|X\rightarrow Y$

Si f se asocia $x \in X$ con $y \in Y$ se denota $y=f(x)$ (y se dice que y es la imagen de x), y también se pude usar la notación $x\rightarrow y$

X se denomina dominio, y el conjunto $f(X)=\{f(x)|x\in X\}$ es la imagen o el recorrido de f. (Con más rigor podemos definirlo a partir de conceptos anteriores, como una relación $f\subset X x Y$ tal que, para todo $x\in X$ existe un único $y\in Y$ que cumple $(x, y)\in f$)

Las aplicaciones pueden ser del tipo:

• $f|X\rightarrow Y$ se llama inyectiva $\text{Si }f(a)\not=f(b)$ siempre que $a\not= b$ (se puede denotar de forma abreviada cómo $f(a)=f(b) \Rightarrow a = b$)
• $f|X\rightarrow Y$ se llama suprayectiva (o sobreyectiva) si para cada $y \in Y$ existe $x\in X$ tal que $y=f(x)$
• $f|X\rightarrow Y$ se llama biyectiva si es inyectiva y suprayectiva a la vez

En lugar de aplicaciones, y con el mismo significado, también se habla de funciones; comúnmente, el término función se utiliza cuando se trata una aplicación entre conjuntos de números. En algunos países de lengua hispana, también se usa el término mapeo proveniente del término map del inglés. A veces también se dice que una aplicación es 1−1 con el significado de ser una aplicación inyectiva

El cuerpo de los números

El conjunto de los números es lo que se denomina un cuerpo (a veces se utiliza también la denominación de campo, como traducción literal del inglés field)

Un cuerpo es un conjunto con dos operaciones $\displaystyle +\text{ y }\cdot$ (llamadas suma y producto), definidas sobre F de forma que cumplan las siguientes propiedades:

• Propiedad asociativa para la suma
$\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)\text{; }\forall a, b, c\in F$
• Propiedad conmutativa para la suma
$\displaystyle a+b=b+a\text{; }\forall a, b\in F$
• Elemento neutro de la suma
  Existe algún elemento $\displaystyle a+b=b+a\text{; }0\in F$ tal que $\displaystyle a+0=a \text{; }\forall a\in F$
  Para todo $\displaystyle a\in F$, existe algún elemento $\displaystyle b\in F$ tal que $\displaystyle a+b=0$ (ese b es el inverso respecto a la suma de a, que se denota mediante −a y se suele aludir a él diciendo que es el elemento opuesto de a)

• Propiedad asociativa para el producto
  $\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\text{; }\forall a, b, c\in F$
• Propiedad conmutativa para el producto
  $\displaystyle a\cdot b=b\cdot a\text{; }\forall a, b\in F$
• Elemento neutro del producto
  Existe algún elemento $\displaystyle 1\in F$ tal que $\displaystyle a\cdot 1=a\text{; }\forall a\in F$
  Para todo $\displaystyle a\in F$ con $\displaystyle a\not=0$, existe algún elemento $\displaystyle b\in F$ tal que $\displaystyle a\cdot b=1$ (ese b es el inverso respecto del producto de a, que se denota mediante $\displaystyle a^{-1}$)

Cuando la propiedad de la existencia de inverso respecto al producto falla, en vez de cuerpo, se tiene lo que se denomina anillo (el cuál tiene sus propias propiedades, las cuales no vamos a mencionar en este momento, pero que por su inexistencia de inverso difieren bastante de la multiplicación que se suele enseñar en primaria)

Por ejemplo, no son cuerpos los números naturales, los reales y los complejos. Otro conjunto que tampoco forman cuerpo son los polinomios (con coeficientes racionales, reales o complejos), pero sí lo forman las denominadas funciones racionales, es decir, los cocientes de polinomios