Números reales

Los números reales completan lo que ya hacían los números racionales

Los números racionales \mathbb{Q}, nos ofrecen ya muchas posibilidades. Pero en seguida puede uno darse cuenta de que no son suficientes para alguna de las tareas que uno desearía encomendar a los números: medir unidades. De hecho, fueron los pitagóricos en el siglo IV A. C. los que observaron esa importante carencia de los números racionales, lo que supuso una enorme crisis en la concepción de las matemáticas que ellos tenían

La idea de los pitagóricos era que todo se tenía que reducir a proporciones numéricas; y tales proporciones equivaldrían a nuestras fracciones. Posiblemente, su profunda decepción fue fruto de su descubrimiento de que la diagonal del cuadrado era inconmensurable con la longitud, es decir, que la diagonal no se puede expresar como un número racional de veces la longitud del lado

La longitud de la diagonal de un cuadrado se puede obtener mediante el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Y su fórmula:

c^2=a^2+b^2

donde a y b son los catetos y c su hipotenusa

Existen muchas demostraciones del teorema de Pitágoras y de muy distinta naturaleza por el tipo de técnicas que utilizan

Una de las más modernas es la basada en un argumento de áreas, publicada en la revista The New England Journal of Education y debida al vigésimo presidente de Estados Unidos James A. Garfield

Hay tres métodos usados habitualmente para definir los números reales \mathbb{R}, a partir de los racionales \mathbb{Q}, y los tres tienen su origen en el siglo XIX, que es cuando el análisis matemático alcanzó el rigor que se exige en la actualidad. Estos métodos son los siguientes:

• Cortaduras de Dedekind
• Clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de racionales
• Clases de equivalencia de pares de sucesiones monótonas convergentes

Los números reales \mathbb{R}, son un cuerpo con una relación de orden verificando el axioma de completitud (también denominado axioma del supremo): todo conjunto acotado superiormente posee supremo

Es decir, los números reales son un conjunto con dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden cumpliendo exactamente las mismas propiedades que en el caso de los racionales. La única diferencia entre los reales y los racionales, es que para los primeros se cumple el axioma de completitud

Un número real que no sea racional lo denominaremos irracional

Esta definición de los números reales simplemente mediante axiomas es engañosa, ya que, sin una construcción formal a partir de conceptos previos, nada garantiza que exista ese modelo de definición axiomática. Intentaremos construirla mediante las cortaduras de Dedekind y su unicidad. También se comentará algo de los otros dos métodos

Proposiciones

Para las propiedades en las que intervienen \mathbb{Z} y \mathbb{Q} no vamos a dar todos los detalles de las demostraciones, sólo alguna indicación de como plantearlas. La que sí se va a desarrollar es la de la propiedad Arquimediana, dada su gran importancia y utilidad

Proposición 1: Propiedad Arquimediana

Sea x\in\mathbb{R}, x > 0. Entonces \forall y\in\mathbb{R}, \exists n\in\mathbb{N}_0\Rightarrow n\cdot x > y

Demostración de la Proposición 1

Si y \leq 0, si tomamos n = 1 no hay nada que probar. Si y > 0 lo probaremos por reducción al absurdo

Supongamos que n\cdot x \leq y para todo n\in\mathbb{N}_0 y consideramos el conjunto S=\{n\cdot x | n \in\mathbb{N}_0\}. El conjunto S, que es distinto de vacío, está acotado superiormente (por y), luego por el axioma de completitud posee supremo

Sea s=\text{ sup }S, como x > 0 entonces s - x < s, por la definición de supremo s - x no puede ser cota superior de S. Por tanto existirá algún elemento de S de la forma m \cdot x, con m\in\mathbb{N}_0 tal que s - x < m \cdot x

Pero esto implica que s < (m+1) \cdot x y obviamente (m+1) \cdot x \in S, con lo que s no es cota superior de s, con lo que llegamos a una contradicción con el hecho de que sea el supremo de S, probando así, la propiedad arquimediana por reducción al absurdo

Proposición 2

Tomando x = 1 tenemos que \mathbb{N} no está acotado superiormente. Y puede probarse fácilmente con la propiedad arquimediana

Proposición 3

Considerando y=1 y x=\epsilon > 0 podemos probar la proposición usando la propiedad arquimediana y nos resultará de gran utilidad cuando estudiemos límites de sucesiones

Proposición 4

Si \alpha, \beta \in \mathbb{R} que cumplen \beta - \alpha > 1 entonces \exists k\in\mathbb{Z} que cumple \alpha < k < \beta

Para probar esta proposición bastará con tomar \alpha como el mayor entero que satisface \alpha\leq\alpha y considerar k=a+1, que se cumplirá que \alpha < k < \beta

Dado \alpha\in\mathbb{R} el mayor entero a tal que a \leq \alpha < a+1, se denomina parte entera de \alpha y se denota por \mid\alpha\mid

Para ser absolutamente rigurosos, debemos probar la existencia y la unicidad de dicho valor

Proposición 5

Dado \alpha\in\mathbb{R}, \exists a \in\mathbb{N} único tal que a\leq\alpha < a+1

También puede demostrarse apoyándose en la propiedad arquimediana

Proposición 6

Se cumple lo siguiente:

• Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists r\in\mathbb{Q}\Rightarrow\alpha < r < \beta
• Sean r, s \in\mathbb{Q} con r < s. Entonces \exists \alpha\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow r < \alpha < s
• Sean \alpha, \beta \in\mathbb{R} con \alpha < \beta. Entonces \exists \Upsilon\in\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\Rightarrow \alpha < \Upsilon < \beta

La primera parte se deduce con la proposición 3: \exists n\in\mathbb{N} con \frac{1}{n} < \beta - \alpha de donde n\cdot\beta - n\cdot\beta > 1 y por la proposición 4: \exists k \in \mathbb{Z} con n\cdot\alpha < k < n\cdot \beta. Tomamos r=\frac{k}{n}

La segunda parte basta con usar que existe un irracional entre 0 y 1 (o entre cualquier otra pareja fija de racionales), desplazar y escalar

La tercera parte es consecuencia de las dos anteriores (entre \alpha y \beta podemos intercalar racionales dos veces)